Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Liban 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année :

parmi les clients de l'opérateur EfficaceRéseau, 70 % se réabonnent à ce même opérateur et 30 % souscrivent un contrat avec l'opérateur GenialPhone ;
parmi les clients de l'opérateur GenialPhone, 55 % se réabonnent à ce même opérateur et 45 % souscrivent un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

On note E l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur EfficaceRéseau » et G l'état : « la personne possède un contrat chez l'opérateur GenialPhone ».

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.
On note également :

$e_{n}$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau au 1^er janvier $(2018 + n)$ ;
$g_{n}$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur GenialPhone au 1^er janvier $(2018 + n)$ ;
$P_{n} = (\begin{matrix} e_{n} & g_{n} \end{matrix})$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1^er janvier $(2018 + n)$ .

Au 1^er janvier 2018, on suppose que 10 % des clients possèdent un contrat chez EfficaceRéseau, ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} 0,1 & 0,9 \end{matrix})$ .

Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets E et G.
1. Déterminer la matrice de transition M associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique.
  La matrice ligne $P_{n} = (\begin{matrix} e_{n} & g_{n} \end{matrix})$ traduit l'état probabiliste du système au 1^er janvier $(2018 + n)$ donc :
  la matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,70 & 0,30 \\ 0,45 & 0,55 \end{matrix})$ .
2. Vérifier qu'au 1^er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.
  $P_{2} = P_{0} \times M^{2}$ soit : $\begin{matrix} P_{2} & = & (\begin{matrix} 0,1 & 0,9 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,70 & 0,30 \\ 0,45 & 0,55 \end{matrix})}^{2} & = & (\begin{matrix} 0,56875 & 0,43125 \end{matrix}) \end{matrix}$
  $P_{2} = (\begin{matrix} 0,56875 & 0,43125 \end{matrix})$ . Au 1^er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.
1. On rappelle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Exprimer $e_{n + 1}$ en fonction de $e_{n}$ et $g_{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, on a $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Soit pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} e_{n + 1} & g_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} e_{n} & g_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,70 & 0,30 \\ 0,45 & 0,55 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} e_{n} \times 0,7 + g_{n} \times 0,45 & e_{n} \times 0,3 + g_{n} \times 0,55 \end{matrix}) \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $e_{n + 1} = 0,7 e_{n} + 0,45 g_{n}$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, $e_{n + 1} = 0,25 e_{n} + 0,45$ .
  Pour tout entier naturel n, $e_{n + 1} = 0,7 e_{n} + 0,45 g_{n}$ avec $e_{n} + g_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} e_{n + 1} & = & 0,7 e_{n} + 0,45 \times (1 - e_{n}) \\ = & 0,25 e_{n} + 0,45 \end{array}$
  Pour tout entier naturel n, on a $e_{n + 1} = 0,25 e_{n} + 0,45$ .
3. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1^er janvier $(2018 + n)$ :
  $E \leftarrow 0,1$
  $G \leftarrow 0,9$
  Pour I allant de 1 à N
  $E \leftarrow 0,25 \times E + 0,45$
  $G \leftarrow 1 - E$
  Fin Pour
  Afficher E et G
4. Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $N = 3$ . Arrondir au centième.
  $\begin{matrix} P_{3} = P_{2} \times M & soit & P_{3} = (\begin{matrix} 0,56875 & 0,43125 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,70 & 0,30 \\ 0,45 & 0,55 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 0,59 & 0,41 \end{matrix}) \end{matrix}$
  Les valeurs arrondies au centième de E et G sont respectivement 0,59 et 0,41.
5. Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.
  L'état stable est $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ avec $x + y = 1$ et tel que : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,70 & 0,30 \\ 0,45 & 0,55 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,70 x + 0,45 y & 0,30 x + 0,55 y \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} x = 0,70 x + 0,45 y \\ y = 0,30 x + 0,55 y \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,30 x - 0,45 y = 0 \\ - 0,30 x + 0,45 y = 0 \end{matrix} \end{array}$
  D'où x et y vérifient la relation $0,30 x - 0,45 y = 0$ . Comme d'autre part, $x + y = 1$ on en déduit que x et y sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{lcr} 0,30 x - 0,45 y & = & 0 \\ x + y & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,75 x & = & 0,45 \\ x + y & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x = 0,6 \\ y = 0,4 \end{matrix} \end{array}$
  L'état probabiliste converge vers l'état stable $P = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, tous les ans, les parts de marché des télécommunications mobiles des deux opérateurs EfficaceRéseau et GenialPhone seront respectivement de 60 % et 40 %.

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