sujet : Liban 2018

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.

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1. $f\prime \left(4\right)$ est égal à :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(4\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4. Cette tangente passe par l'origine du repère et le point de coordonnées $\left(4;2\right)$ d'où $$f\prime \left(4\right)={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   a. 2

   b. $-1$

   c. 0,5

   d. 0

2. f est convexe sur l'intervalle :

   La courbe traverse sa tangente au point d'inflexion d'abscisse 2. La courbe est située au dessus de ses tangentes sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$ donc la fonction f est convexe sur cet intervalle.

   a. $\left]-\infty ;0\right]$

   b. $\left]-\infty ;\mathrm{0,5}\right]$

   c. $\left[0;4\right]$

   d. $\left[2;5\right]$

3. Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ est :

   La valeur moyenne de de f sur l'intervalle $\left[0;5\right]$ est : $$m={\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

   Comme la fonction est positive sur l'intervalle $\left[0;5\right]$, l'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{5}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, en unité d'aire, du domaine colorié compris entre la courbe, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=5$.

   Or l'aire de ce domaine est visiblement inférieure à l'aire d'un rectangle de côtés 5 et 4 et supérieure à l'aire de 13 carrés de côté 1 donc ${\displaystyle \frac{13}{5}}<m<{\displaystyle \frac{20}{5}}$.

   Par conséquent, la réponse c est la seule des quatre réponses susceptible de convenir.

   a. $-\mathrm{0,1}$

   b. 2,5

   c. 2,9

   d. 14,5

4. Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire X qui suit une loi normale et telle que $P\left(X⩽649\right)\approx \mathrm{0,1587}$.
   On note respectivement μ et σ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

   La courbe admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=650$. Par conséquent, $\mu =650$.

   Par symétrie de la courbe, on en déduit que :$$\begin{array}{cccc}& P\left(X⩾651\right)=P\left(X⩽649\right)& \text{soit}& P\left(X⩾651\right)\approx \mathrm{0,1587}\\ \text{et}& P\left(649⩽X⩽650\right)=P\left(X⩽650\right)+P\left(X⩽649\right)& \text{soit}& P\left(649⩽X⩽650\right)\approx \mathrm{0,5}-\mathrm{0,1587}\approx \mathrm{0,3413}\end{array}$$

   Par conséquent : $$\begin{array}{cccc}& P\left(X⩽651\right)=1-P\left(X⩾651\right)& \text{soit}& P\left(X⩽651\right)\approx 1-\mathrm{0,1587}\approx \mathrm{0,8413}\\ \text{et}& P\left(649⩽X⩽651\right)=2\times P\left(649⩽X⩽650\right)& \text{soit}& P\left(649⩽X⩽651\right)\approx 2\times \mathrm{0,3413}\approx \mathrm{0,6826}\end{array}$$

   a. $P\left(X⩽651\right)\approx \mathrm{0,6587}$

   b. $P\left(649⩽X⩽651\right)\approx \mathrm{0,683}$

   c. $\sigma =650$

   d. $\mu =649$

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