sujet : Liban 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;25\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x+2-\ln \left(x\right)}{x}}$.

   1. On admet que f est dérivable sur $\left[1;25\right]$. Démontrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[1;25\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-3+\ln \left(x\right)}{x^2}}$.

      La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
      $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;25\right]$, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x+2-\ln \left(x\right)& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;25\right]$, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(1-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\times x-\left(x+2-\ln \left(x\right)\right)\times 1}{x^2}}={\displaystyle \frac{x-1-x-2+\ln \left(x\right)}{x^2}}={\displaystyle \frac{-3+\ln \left(x\right)}{x^2}}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[1;25\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{-3+\ln \left(x\right)}{x^2}}$.

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   2. Résoudre dans $\left[1;25\right]$ l'inéquation $-3+\ln \left(x\right)>0$.

      $$\begin{array}{rcl}-3+\ln \left(x\right)>0& \iff & \ln \left(x\right)>3\\ & \iff & x>{\mathrm{e}}^3\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left[1;25\right]$, l'ensemble des solutions de l'inéquation $-3+\ln \left(x\right)>0$ est $S=\left[{\mathrm{e}}^3;25\right]$.

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   3. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur $\left[1;25\right]$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau de variations :

      x	1		${\mathrm{e}}^3$		25
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	3		${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-1}{{\mathrm{e}}^3}}$		${\displaystyle \frac{27-\ln \left(25\right)}{25}}$

   4. Démontrer que dans l'intervalle $\left[1;25\right]$, l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}$ admet une seule solution. On notera α cette solution.

      • Sur l'intervalle $\left[1;{\mathrm{e}}^3\right]$ on a $f\left(1\right)=3$ et $f\left({\mathrm{e}}^3\right)={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-1}{{\mathrm{e}}^3}}\approx \mathrm{0,95}$.

        Sur l'intervalle $\left[1;{\mathrm{e}}^3\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left({\mathrm{e}}^3\right)<\mathrm{1,5}<f\left(1\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;{\mathrm{e}}^3\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left[{\mathrm{e}}^3;25\right]$ la fonction f est strictement croissante et $f\left(25\right)={\displaystyle \frac{27-\ln \left(25\right)}{25}}\approx \mathrm{0,951}$. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[{\mathrm{e}}^3;25\right]$ on a $f\left(x\right)<\mathrm{1,5}$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

      Ainsi, l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}$ admet une seule solution $\alpha \in \left[1;{\mathrm{e}}^3\right]$.

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   5. Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de α à l'aide de la calculatrice.

      À l'aide de la calculatrice on trouve $\mathrm{2,31}⩽\alpha ⩽\mathrm{2,32}$.

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2. Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et 2500 pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.
   On admet que lorsque x centaines de pièces sont fabriquées, avec $1⩽x⩽25$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de $f\left(x\right)$ euros.
   En utilisant les résultats obtenus à la question 1 :

   1. Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.
      Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.

      Le minimum de la fonction f est ateint pour $x={\mathrm{e}}^3\approx \mathrm{20,086}$. Or $f\left(\mathrm{20,08}\right)\approx \mathrm{0,95}$ et $f\left(\mathrm{20,09}\right)\approx \mathrm{0,95}$.

      Le coût moyen minimal de fabrication d'une pièce est de 95 centimes obtenu pour une production de 2008 ou 2009 pièces.

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   2. Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à 1,50 euro.

      L'équation $f\left(x\right)=\mathrm{1,5}$ admet une seule solution α alors, d'après le tableau des variations de la fonction f, on en déduit que $f\left(x\right)⩽\mathrm{1,5}\iff x\in \left[\alpha ;25\right]$.

      Le coût moyen de fabrication d'une pièce est inférieur ou égal à 1,50 euro pour une production comprise entre 232 et 2500 pièces.

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   3. Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes ? Justifier.

      Le coût moyen minimal de fabrication d'une pièce est de 95 centimes donc il n'est pas possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes.

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