sujet : Liban 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Maya possède 20 € dans sa tirelire au 1^er juin 2018.
À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place 20 € supplémentaires.
Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du n-ième mois. On a $u_0=20$.

1. 1. Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1^er mois est de 35 €.

      $$u_1=20\times \left(1-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)+20=35$$.

      À la fin du 1^er mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya est de 35 €.

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   2. Calculer $u_2$.

      $$u_2=35\times \mathrm{0,75}+20=\mathrm{46,25}$$.

      À la fin du 2^e mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya est de 46,25 €.

      ---

2. On admet que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,75}{u}_n+20$.
   On considère l'algorithme suivant :

   $U\leftarrow 20$
   $N\leftarrow 0$

   Tant que $U<70$
   $U\leftarrow \mathrm{0,75}\times U+20$
   $N\leftarrow N+1$
   Fin Tant que

   Afficher N

   1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.

      Valeur de U	20	35	46,25	54,69	61,02	65,76	69,32	71,99
      Valeur de N	0	1	2	3	4	5	6	7
      Condition $U<70$	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	faux

   2. Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
      Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

      La valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithmen est $N=7$. À la fin du 7^e mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya sera supérieure ou égale à 70 €.

      ---

3. Pour tout entier n, on pose $v_n=u_n-80$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-80\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{u}_n+20-80\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{u}_n-60\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}\times \left(u_n-80\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,75}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,75}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75.

      ---

   2. Préciser son premier terme $v_0$.

      $v_0=20-80=-60$.

      ---

   3. En déduire que, pour tout entier n, $u_n=80-60\times {\mathrm{0,75}}^n$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $v_0=-60$ donc pour tout entier naturel n, on a :$$v_n=-60\times {\mathrm{0,75}}^n$$

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-80\iff u_n=v_n+80$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=80-60\times {\mathrm{0,84}}^n$.

      ---

   4. Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1^er juin 2019.

      $$u_{12}=80-60\times {\mathrm{0,84}}^{12}\approx \mathrm{78,10}$$.

      Au bout d'un an, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya est de 78,10 €.

      ---

   5. Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

      $0<\mathrm{0,75}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,75}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }-60\times {\mathrm{0,75}}^n=0$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$.

      La suite $\left(v_n\right)$ converge vers 0.

      ---

   6. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

      $\underset{n\to +\infty }{\lim }-60\times {\mathrm{0,75}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }80-60\times {\mathrm{0,75}}^n=80$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=80$.

      La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 80. À partir d'un certain nombre de mois, la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya sera toujours proche 80 €.

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