contrôles en première ES

contrôle du 12 mai 2006

correction de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout x élément de l'intervalle $[0; 10]$ par : $f (x) = x^{3} - 13 x^{2} + 57 x + 49$
Sa représentation graphique dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

Calculer $f' (x)$ , puis déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 7. La tracer dans le repère précédent.
Pour tout x élément de l'intervalle $[0; 10]$ $f' (x) = 3 x^{2} - 2 \times 13 x + 57$
D'où $f' (x) = 3 x^{2} - 26 x + 57$ .
Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 7, est donnée par la relation : $y = f' (7) (x - 7) + f (7)$
Or $f' (7) = 3 \times 7^{2} - 26 \times 7 + 57 = 22$
et $f (7) = 7^{3} - 13 \times 7^{2} + 57 \times 7 + 49 = 154$
D'où $\begin{array}{l} y = 22 (x - 7) + 154 & \Leftrightarrow & y = 22 x \end{array}$
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 7 passe par l'origine du repère et le point de la courbe d'abscisse 7.
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 7 a pour équation : $y = 22 x$ .

La fonction f modélise sur l'intervalle $] 0; 10]$ la fonction coût total de production de x milliers d'articles fabriqués, le coût total est en milliers d'euros.

Pour tout x dans l'intervalle $] 0; 10]$ , le quotient $C_{M} (x) = \frac{f (x)}{x} = x^{2} - 13 x + 57 + \frac{49}{x}$ est appelé coût moyen de production de x milliers d'articles.

On note C ' la dérivée de la fonction coût moyen $x \to C_{M} (x)$ .

Calculer $C' (x)$ et vérifier que pour x dans l'intervalle $] 0; 10]$ : $C' (x) = \frac{(x - 7) (2 x^{2} + x + 7)}{x^{2}}$ .
$C' (x) = 2 x - 13 - \frac{49}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} - 13 x^{2} - 49}{x^{2}}$
D'autre part $(x - 7) (2 x^{2} + x + 7) = 2 x^{3} + x^{2} + 7 x - 14 x^{2} - 7 x - 49 = 2 x^{3} - 13 x^{2} - 49$
Donc $C' (x) = \frac{(x - 7) (2 x^{2} + x + 7)}{x^{2}}$

Étudier les variations de la fonction coût moyen sur $] 0; 10]$ .

Étude du signe de $2 x^{2} + x + 7$

$Δ = 1^{2} - 4 \times 2 \times 7 = - 55$

$Δ < 0$ alors l'expression $2 x^{2} + x + 7$ est de signe constant. Soit pour tout réel x, $2 x^{2} + x + 7 > 0$ .

D'autre part, $x - 7 > 0 \Leftrightarrow x > 0$

À partir du signe de la dérivée de la fonction coût moyen nous pouvons établir les variations de la fonction coût moyen.

x	0		7		10
Signe de $C'$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
Variations de $C_{M}$			22		31,9

En déduire la valeur de x qui minimise le coût moyen.
Sur l'intervalle $] 0; 10]$ la dérivée de la fonction coût moyen s'annule en changeant de signe alors la fonction coût moyen admet un extremum pour $x = 7$ .
D'après les variations de la fonction coût moyen, le coût moyen est minimal pour $x = 7$ .
Le coût moyen est minimal pour une fabrication de 7 000 articles.

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