contrôle du 30 mai 2006

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]3;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2+{\displaystyle \frac{5}{x-3}}$.

1. 1. Calculer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

      • $\underset{x\to 3}{\lim }x-3=0^{+}$ ($x>3$) alors, $\underset{x\to 3}{\lim }{\displaystyle \frac{5}{x-3}}=+\infty$ et $\underset{x\to 3}{\lim }2+{\displaystyle \frac{5}{x-3}}=+\infty$.
      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }x-3=+\infty$ alors, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{5}{x-3}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }2+{\displaystyle \frac{5}{x-3}}=2$.

      Ainsi, $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$.

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   2. En déduire l'existence d'asymptotes pour la courbe $C_f$ représentative de la fonction f.

      • $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la droite d'équation $x=3$ est asymptote à la courbe $C_f$.
      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$ donc la courbe $C_f$ a pour asymptote la droite d'équation $y=2$ en $+\infty$.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]3;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{5}{{\left(x-3\right)}^2}}$.

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3. Étudier les variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$.

   Or pour tout réel x de l'intervalle $\left]3;+\infty \right[$, ${\left(x-3\right)}^2>0$ d'où $-{\displaystyle \frac{5}{{\left(x-3\right)}^2}}<0$

   La dérivée de la fonction f est négative donc la fonction f est décroissante.

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