contrôle du 23 mai 2006

Corrigé de l'exercice 1

Une entreprise de menuiserie fabrique 150 chaises par jour.
Elle produit deux sortes de chaises, les unes vendues 30 € pièce, les autres 60 € pièce.
La production d'une journée a été totalement vendue et le montant des ventes s'élève à 7 260 €.

On note x le nombre de chaises à 30 € et y le nombre de chaises à 60 € vendues dans la journée.

1. Déterminer la matrice A telle que $A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}150\\ 7260\end{array}\right)$.

   • 150 chaises ont été vendues d'où $x+y=150$.
   • Le montant des ventes s'élève à 7 260 € d'où $30x+60y=7260$.

   Ainsi, x et y sont solutions du système :$\{\begin{array}{rcr}x+y& =& 150\\ 30x+60y& =& 7260\end{array}$.

   En posant $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 30& 60\end{array}\right)$, x et y vérifient $A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}150\\ 7260\end{array}\right)$.

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2. Calculer le nombre de chaises à 30 € et à 60 € qui ont été vendues.

   La matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -{\displaystyle \frac{1}{30}}\\ -1& {\displaystyle \frac{1}{30}}\end{array}\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}150\\ 7260\end{array}\right)& \iff & A^{-1}\times A\times \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A^{-1}\times \left(\begin{array}{r}150\\ 7260\end{array}\right)\\ & \iff & \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=A^{-1}\times \left(\begin{array}{r}150\\ 7260\end{array}\right)\\ & \text{soit}& \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -{\displaystyle \frac{1}{30}}\\ -1& {\displaystyle \frac{1}{30}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}150\\ 7260\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}58\\ 92\end{array}\right)\end{array}$$

   58 chaises à 30 € et 92 chaises à 60 € qui ont été vendues.

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