contrôles en première ES

contrôle du 16 février 2007

Corrigé de l'exercice 2

La fonction f est définie sur $ℝ$ par : $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .
Elle est représentée dans un repère orthogonal par une parabole contenant les points : $A (- 1; 3)$ , $B (0; 6)$ et $C (2; 6)$ .
À l'aide d'un système d'équations, déterminer les réels a, b, et c, et en déduire l'équation de la parabole.
$M (x; y)$ est un point de la parabole si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l'équation de la parabole :
- avec $A (- 1; 3)$ on obtient l'équation $a - b + c = 3$ ;
- avec $B (0; 6)$ on obtient l'équation $c = 6$ ;
- avec $C (2; 6)$ on obtient l'équation $4 a + 2 b + c = 6$ .
Ainsi, a, b, et c sont solutions du système : $\begin{array}{l} {\begin{array}{r} a - b + c & = & 3 \\ c & = & 6 \\ 4 a + 2 b + c & = & 6 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a - b & = & - 3 \\ c & = & 6 \\ 4 a + 2 b & = & 0 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a - b & = & - 3 \\ c & = & 6 \\ 2 a + b & = & 0 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a - b & = & - 3 \\ c & = & 6 \\ 3 a & = & - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a & = & - 1 \\ b & = & 2 \\ c & = & 6 \end{array} \end{array}$
Ainsi, f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = - x^{2} + 2 x + 6$ .
On note P la parabole d'équation : $y = - x^{2} + 2 x + 6$ .
1. Déterminer les coordonnées du sommet S de cette parabole.
  L'abscisse du sommet $S (x; y)$ de la parabole est $x = - \frac{b}{2 a}$ avec $a = - 1$ et $b = 2$ . D'où $x = 1$ .
  Donc $y = - 1^{2} + 2 \times 1 + 6 = 7$
  Ainsi, le sommet S de cette parabole a pour coordonnées $S (1; 7)$ .
2. Calculer les coordonnées de ses points d'intersection avec l'axe des abscisses.
  Les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $- x^{2} + 2 x + 6 = 0$
  $Δ = b^{2} - 4 a c$ avec $a = - 1, b = 2 et c = - 6$ . D'où $Δ = 2^{2} - 4 \times (- 1) \times 6 = 28$
  $Δ > 0$ donc l'équation a deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{7}}{- 2} = 1 + \sqrt{7} & et & x_{2} = \frac{- 2 + 2 \sqrt{7}}{- 2} = 1 - \sqrt{7} \end{array}$
  La parabole P coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées $(1 - \sqrt{7}; 0)$ et $(1 + \sqrt{7}; 0)$ .
3. Tracer la parabole P dans le repère orthogonal donné ci-dessous. Dans le même repère, tracer la droite D d'équation : $y = - 2 x + 1$ .
  La droite D passe par les points de coordonnées $(0; 1)$ et $(3; - 5)$
4. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation : $- x^{2} + 2 x + 6 ⩾ - 2 x + 1$ . En donner une interprétation graphique.
  $\begin{array}{r} - x^{2} + 2 x + 6 ⩾ - 2 x + 1 & \Leftrightarrow & - x^{2} + 2 x + 6 + 2 x - 1 ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & - x^{2} + 4 x + 5 ⩾ 0 \end{array}$
  Étudions le signe du trinôme $- x^{2} + 4 x + 5$
  $a = - 1, b = 4, c = 5$ , donc le discriminant du trinôme $Δ = 4^{2} - 4 \times (- 1) \times 5 = 36$
  $Δ > 0$ le trinôme est donc du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.
  Les racines du trinôme sont : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 4 - 6}{- 2} = 5 & et & x_{2} = \frac{- 4 + 6}{- 2} = - 1 \end{array}$
  D'autre part $a < 0$ , d'où le tableau du signe du trinôme :
  x $- \infty$ $- 1$ 5 $+ \infty$
  $- x^{2} + 4 x + 5$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
  Ainsi, $- x^{2} + 2 x + 6 ⩾ - 2 x + 1$ pour tout réel x de l'intervalle $[- 1; 5]$ . Sur cet intervalle, la parabole P est au dessus de la droite D.

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x	$- \infty$		$- 1$		5		$+ \infty$
$- x^{2} + 4 x + 5$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−