contrôle du 16 février 2007

Corrigé de l'exercice 3

En deux ans, une production a augmenté de 68 % :
La première année, elle a augmenté de a % et la seconde année l'augmentation en pourcentage a doublé.

Déterminer l'augmentation en pourcentage au cours de la première année.

Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de a % est $1+{\displaystyle \frac{a}{100}}$.

Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2a % est $1+{\displaystyle \frac{2a}{100}}$.

Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 68 % est 1,68.

D'où a est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}\left(1+{\displaystyle \frac{a}{100}}\right)\left(1+{\displaystyle \frac{2a}{100}}\right)=\mathrm{1,68}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{2a}{100}}+{\displaystyle \frac{a}{100}}+{\displaystyle \frac{2a^2}{\mathrm{10\; 000}}}-\mathrm{1,68}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{2a^2}{\mathrm{10\; 000}}}+{\displaystyle \frac{3a}{100}}-\mathrm{0,68}=0\\ & \iff & 2a^2+300a-6800=0\\ & \iff & a^2+150a-3400=0\end{array}$$

Déterminons les solutions de l'équation du second degré en a : $$\mathrm{\Delta }={150}^2-4\times 1\times \left(-3400\right)=36100$$

$\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions :$$\begin{array}{lll}{a}_1={\displaystyle \frac{-150-190}{2}}=-170& \text{et}& a_2={\displaystyle \frac{-150+190}{2}}=20\end{array}$$

Comme il s'agit d'une augmentation de a %, seule la solution positive convient.

La première année la production a augmenté de 20 %.

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