contrôle du 30 mars 2007

Corrigé de l'exercice 1

1. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire à l'aide d'un diagramme en boîte.

   L'effectif total est de 40 salariés.

   • La médiane définit deux groupes de 20 salariés. Comme les 20^ème et 21^ème montants des salaires (classés par ordre croissant de valeurs) sont identiques :

     la médiane est alors égale à 20 milliers d'euros.

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   • Le premier quartile $Q_1$ est défini par le 10^ème salaire donc $Q_1=18$.

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   • Le troisième quartile $Q_3$ est défini par le 30^ème salaire donc $Q_3=25$.

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   Dans cette entreprise, 25% des salariés ont un salaire annuel inférieur ou égal à 18 000 € et 75 % des salariés ont un salaire inférieur ou égal à 25 000 €. Le salaire médian est de 20 000 €.

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2. Calculer le montant en euros du salaire moyen annuel dans cette entreprise. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à l'euro près de l'écart-type s.

   Le montant en milliers d'euros du salaire moyen annuel est : $$\begin{array}{lllll}\overline{x}& =& {\displaystyle \frac{6\times 16+9\times 18+10\times 20+8\times 25+5\times 30+2\times 40}{40}}& =& \mathrm{22,2}\end{array}$$

   Arrondi à ${10}^{-3}$ près, l'écart-type obtenu à l'aide de la calculatrice est $s=\mathrm{5,997}$.

   Le salaire moyen annuel est de 22 200 € et l'écart-type est de 5 997 €.

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3. Soit S la fonction définie sur $ℝ$ par :$$S\left(x\right)=6{\left(16-x\right)}^2+9{\left(18-x\right)}^2+10{\left(20-x\right)}^2+8{\left(25-x\right)}^2+5{\left(30-x\right)}^2+2{\left(40-x\right)}^2$$

   1. Vérifier que $S\left(x\right)=40x^2-1776x+21152$.

      $S\left(x\right)=6{\left(16-x\right)}^2+9{\left(18-x\right)}^2+10{\left(20-x\right)}^2+8{\left(25-x\right)}^2+5{\left(30-x\right)}^2+2{\left(40-x\right)}^2$

      $S\left(x\right)=6\left(x^2-32x+256\right)+9\left(x^2-36x+324\right)+10\left(x^2-40x+400\right)+8\left(x^2-50x+625\right)+5\left(x^2-60x+900\right)+2\left(x^2-80x+1600\right)$

      $S\left(x\right)=6x^2-192x+1536+9x^2-324x+2916+10x^2-400x+4000+8x^2-400x+5000+5x^2-300x+4500+2x^2-160x+3200$

      Donc $S\left(x\right)=40x^2-1776x+21152$.

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   2. Déterminer le sens de variations de la fonction S et en déduire sa valeur minimale.

      S est une fonction polynôme du second degré avec $a=40\text{, }b=-1776\text{ et }c=21152$.

      $a>0$ , alors S admet un minimum atteint pour $$\begin{array}{lll}x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}& \text{Soit pour}& x=-{\displaystyle \frac{-1776}{80}}=\mathrm{22,2}\end{array}$$

      D'autre part, $$\begin{array}{lll}S\left(\mathrm{22,2}\right)& =& 40\times {\mathrm{22,2}}^2-1776\times \mathrm{22,2}+21152\\ & =& \mathrm{1438,4}\end{array}$$

      Tableau de variation de la fonction S :

      x	$-\infty$		22,2		$+\infty$
      Variations de S			1438,4

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      Le minimum de S est 1438,4 atteint pour $x=\mathrm{22,2}$.

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   3. Calculer la variance à partir de la somme S. En déduire la valeur exacte de l'écart-type s.

      La variance d'une série statistique est $V\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{N}}{\displaystyle \sum _{i=1}^p{n}_i{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}$ où N est l'effectif total. La variance de la série statistique est donc : $$V\left(x\right)={\displaystyle \frac{6{\left(16-\overline{x}\right)}^2+9{\left(18-\overline{x}\right)}^2+10{\left(20-\overline{x}\right)}^2+8{\left(25-\overline{x}\right)}^2+5{\left(30-\overline{x}\right)}^2+2{\left(40-\overline{x}\right)}^2}{40}}={\displaystyle \frac{S\left(\overline{x}\right)}{40}}$$

      Or le montant en milliers d'euros du salaire moyen annuel est : $\overline{x}=\mathrm{22,2}$ . C'est la valeur qui rend minimale la fonction S. D'où $$V\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{1438,4}}{40}}=\mathrm{35,96}$$

      Ainsi, la variance de la série statistique est $V\left(x\right)=\mathrm{35,96}$ et l'écart-type est $s=\sqrt{\mathrm{35,96}}$.

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