contrôles en première ES

contrôle du 30 mars 2007

Corrigé de l'exercice 1

Le tableau suivant donne le montant des salaires annuels exprimés en milliers d'euros d'une petite entreprise.

Salaires161820253040
Nombre de salariés6910852
  1. Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire à l'aide d'un diagramme en boîte.

    L'effectif total est de 40 salariés.

    • La médiane définit deux groupes de 20 salariés. Comme les 20ème et 21ème montants des salaires (classés par ordre croissant de valeurs) sont identiques :

      la médiane est alors égale à 20 milliers d'euros.


    • Le premier quartile Q1 est défini par le 10ème salaire donc Q1=18.


    • Le troisième quartile Q3 est défini par le 30ème salaire donc Q3=25.


    Diagramme en boîte à moustaches : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Dans cette entreprise, 25% des salariés ont un salaire annuel inférieur ou égal à 18 000 € et 75 % des salariés ont un salaire inférieur ou égal à 25 000 €. Le salaire médian est de 20 000 €.


  2. Calculer le montant en euros du salaire moyen annuel dans cette entreprise. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à l'euro près de l'écart-type s.

    Le montant en milliers d'euros du salaire moyen annuel est : x¯=6×16+9×18+10×20+8×25+5×30+2×4040=22,2

    Arrondi à 10-3 près, l'écart-type obtenu à l'aide de la calculatrice est s=5,997.

    Le salaire moyen annuel est de 22 200 € et l'écart-type est de 5 997 €.


  3. Soit S la fonction définie sur par :S(x)=6(16-x)2+9(18-x)2+10(20-x)2+8(25-x)2+5(30-x)2+2(40-x)2

    1. Vérifier que S(x)=40x2-1776x+21152.

      S(x)=6(16-x)2+9(18-x)2+10(20-x)2+8(25-x)2+5(30-x)2+2(40-x)2

      S(x)=6(x2-32x+256)+9(x2-36x+324)+10(x2-40x+400)+8(x2-50x+625)+5(x2-60x+900)+2(x2-80x+1600)

      S(x)=6x2-192x+1536+9x2-324x+2916+10x2-400x+4000+8x2-400x+5000+5x2-300x+4500+2x2-160x+3200

      Donc S(x)=40x2-1776x+21152.


    2. Déterminer le sens de variations de la fonction S et en déduire sa valeur minimale.

      S est une fonction polynôme du second degré avec a=40b=-1776 et c=21152.

      a>0 , alors S admet un minimum atteint pour x=-b2aSoit pourx=--177680=22,2

      D'autre part, S(22,2)=40×22,22-1776×22,2+21152=1438,4

      Tableau de variation de la fonction S :

      x- 22,2 +
       Variations de S fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      1438,4

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Le minimum de S est 1438,4 atteint pour x=22,2.


    3. Calculer la variance à partir de la somme S. En déduire la valeur exacte de l'écart-type s.

      La variance d'une série statistique est V(x)=1Ni=1pni(xi-x¯)2N est l'effectif total. La variance de la série statistique est donc : V(x)=6(16-x¯)2+9(18-x¯)2+10(20-x¯)2+8(25-x¯)2+5(30-x¯)2+2(40-x¯)240=S(x¯)40

      Or le montant en milliers d'euros du salaire moyen annuel est : x¯=22,2 . C'est la valeur qui rend minimale la fonction S. D'où V(x)=1438,440=35,96

      Ainsi, la variance de la série statistique est V(x)=35,96 et l'écart-type est s=35,96.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.