Le tableau suivant donne le montant des salaires annuels exprimés en milliers d'euros d'une petite entreprise.
Salaires | 16 | 18 | 20 | 25 | 30 | 40 |
Nombre de salariés | 6 | 9 | 10 | 8 | 5 | 2 |
Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartiles. Interpréter ces résultats et les traduire à l'aide d'un diagramme en boîte.
L'effectif total est de 40 salariés.
La médiane définit deux groupes de 20 salariés. Comme les 20ème et 21ème montants des salaires (classés par ordre croissant de valeurs) sont identiques :
la médiane est alors égale à 20 milliers d'euros.
Le premier quartile est défini par le 10ème salaire donc .
Le troisième quartile est défini par le 30ème salaire donc .
Dans cette entreprise, 25% des salariés ont un salaire annuel inférieur ou égal à 18 000 € et 75 % des salariés ont un salaire inférieur ou égal à 25 000 €. Le salaire médian est de 20 000 €.
Calculer le montant en euros du salaire moyen annuel dans cette entreprise. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à l'euro près de l'écart-type s.
Le montant en milliers d'euros du salaire moyen annuel est :
Arrondi à près, l'écart-type obtenu à l'aide de la calculatrice est .
Le salaire moyen annuel est de 22 200 € et l'écart-type est de 5 997 €.
Soit S la fonction définie sur par :
Vérifier que .
Donc .
Déterminer le sens de variations de la fonction S et en déduire sa valeur minimale.
S est une fonction polynôme du second degré avec .
, alors S admet un minimum atteint pour
D'autre part,
Tableau de variation de la fonction S :
x | 22,2 | ||||
Variations de S | 1438,4 |
Le minimum de S est 1438,4 atteint pour .
Calculer la variance à partir de la somme S. En déduire la valeur exacte de l'écart-type s.
La variance d'une série statistique est où N est l'effectif total. La variance de la série statistique est donc :
Or le montant en milliers d'euros du salaire moyen annuel est : . C'est la valeur qui rend minimale la fonction S. D'où
Ainsi, la variance de la série statistique est et l'écart-type est .
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