contrôle du 30 mars 2007

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $\left]1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x-1}}$

1. En utilisant la définition, montrer que le nombre dérivé de f en 2 est $f\prime \left(2\right)=-2$.

   D'après la définition, si la fonction f est dérivable en 2 alors, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(2\right)& =& \underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}}\end{array}$$

   Or pour tout réel $h\ne 0$, $$\begin{array}{lll}f\left(2+h\right)={\displaystyle \frac{2\left(2+h\right)}{2+h-1}}={\displaystyle \frac{2h+4}{h+1}}& \text{et}& f\left(2\right)={\displaystyle \frac{2\times 2}{2-2}}=4\end{array}$$

   D'où pour tout réel $h\ne 0$, $$\begin{array}{llll}{\displaystyle \frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2h+4}{h+1}}-4}{h}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{2h+4-4\left(h+1\right)}{h\left(h+1\right)}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{-2h}{h\left(h+1\right)}}& \\ & =& -{\displaystyle \frac{2}{h+1}}& \text{Car }h\ne 0\end{array}$$

   Comme $\underset{h\to 0}{\lim }-{\displaystyle \frac{2}{h+1}}=-2$ alors,

   la fonction f est dérivable en 2 et le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)=-2$.

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2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2.

   L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2 est :$$y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)$$

   Soit $\begin{array}{ccc}y=-2\times \left(x-2\right)+4& \iff & y=-2x+8\end{array}$

   La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A d'abscisse 2 a pour équation $y=-2x+8$.

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