contrôle du 27 avril 2007

Corrigé de l'exercice 3

1. Étudier le signe du polynôme $P\left(x\right)=-4x^2+6x+4$.

   P est une fonction polynôme du second degré avec $a=-4\text{, }b=6\text{ et }c=4$ , donc le discriminant du trinôme est $$\mathrm{\Delta }=6^2-4\times \left(-4\right)\times 4=100$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ le trinôme est donc du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.

   Or, les racines du trinôme sont: $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-6-10}{-8}}=2& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-6+10}{-8}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   D'autre part $a<0$, d'où le tableau du signe du trinôme :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		$+\infty$
   $P\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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2. Soit f une fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x-3}{x^2+1}}$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée. Sa courbe représentative ${𝒞}_f$dans un repère du plan est donnée ci-dessous.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Posons pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=4x-3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$ alors, $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$.

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4\left(x^2+1\right)-2x\left(4x-3\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2+4-8x^2+6x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2+6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2+6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Pour étudier les variations de la fonction f, nous allons étudier le signe de sa dérivée $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-4x^2+6x+4}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$$

      Comme pour tout réel x, ${\left(x^2+1\right)}^2>0$ alors, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $P\left(x\right)=-4x^2+6x+4$.

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variation de f			$-4$		1

      Calcul des extrema

      • $\begin{array}{ccccccccc}f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-3}{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+1}}& =& {\displaystyle \frac{-2-3}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+1}}& =& {\displaystyle \frac{-5}{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}& =& -4\end{array}$

      • $\begin{array}{ccccccc}f\left(2\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times 2-3}{2^2+1}}& =& {\displaystyle \frac{5}{5}}& =& 1\end{array}$

   3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse − 3. Tracer la tangente T dans le repère ci-dessous.

      L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse − 3 est :$$y=f\prime \left(-3\right)\times \left(x+3\right)+f\left(-3\right)$$

      Or

      • $\begin{array}{ccccccccc}f\prime \left(-3\right)& =& {\displaystyle \frac{-4\times {\left(-3\right)}^2+6\times \left(-3\right)+4}{{\left({\left(-3\right)}^2+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{-36-18+4}{{10}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{50}{100}}& =& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

      • $\begin{array}{ccccccc}f\left(-3\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(-3\right)-3}{{\left(-3\right)}^2+1}}& =& -{\displaystyle \frac{15}{10}}& =& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$

      Par conséquent, la tangente T a pour équation $$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x+3\right)-{\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}-3\end{array}$$

      La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse − 3 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}-3$.

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      La tangente T passe par les points de coordonnées $\left(-3;-\mathrm{1,5}\right)$ et $\left(-1;-\mathrm{2,5}\right)$

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