contrôles en première ES

contrôle du 27 avril 2007

Corrigé de l'exercice 3

  1. Étudier le signe du polynôme Px=-4x2+6x+4.

    P est une fonction polynôme du second degré avec a=-4b=6 et c=4 , donc le discriminant du trinôme est Δ=62-4×-4×4=100

    Δ>0 le trinôme est donc du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.

    Or, les racines du trinôme sont: x1=-6-10-8=2etx2=-6+10-8=-12

    D'autre part a<0, d'où le tableau du signe du trinôme :

    x- -12 2 +
    Px 0||+0|| 

  2. Soit f une fonction définie sur par fx=4x-3x2+1. On note f sa fonction dérivée. Sa courbe représentative 𝒞fdans un repère du plan est donnée ci-dessous.

    1. Calculer fx.

      Posons pour tout réel x, {ux=4x-3 d'où ux=4etvx=x2+1 d'où vx=2x alors, f=uv d'où f=uv-uvv2.

      Soit pour tout réel x, fx=4x2+1-2x4x-3x2+12=4x2+4-8x2+6xx2+12=-4x2+6x+4x2+12

      Ainsi pour tout réel x, fx=-4x2+6x+4x2+12.


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      Pour étudier les variations de la fonction f, nous allons étudier le signe de sa dérivée fx=-4x2+6x+4x2+12

      Comme pour tout réel x, x2+12>0 alors, fx est du même signe que Px=-4x2+6x+4.

      x- -12 2 +
      Signe de fx 0||+0|| 
      Variation de ffonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -4

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      1

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Calcul des extremum

      • f-12=4×-12-3-122+1=-2-314+1=-554=-4

      • f2=4×2-322+1=55=1

    3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse − 3. Tracer la tangente T dans le repère ci-dessous.

      L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse − 3 est :y=f-3×x+3+f-3

      Or

      • f-3=-4×-32+6×-3+4-32+12=-36-18+4102=-50100=-12

      • f-3=4×-3-3-32+1=-1510=-32

      Par conséquent, la tangente T a pour équation y=-12×x+3-32y=-x2-3

      La tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse − 3 a pour équation y=-x2-3.


      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      La tangente T passe par les points de coordonnées -3-1,5 et -1-2,5


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