contrôle du 17 mai 2007

Corrigé de l'exercice 1

1. Déterminer graphiquement $f\prime \left(-3\right)$ et $f\prime \left(-1\right)$.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(-3\right)$ est égal au coefficient directeur de la droite (D) tangente à la courbe $\left(𝒞\right)$ au point $A\left(-3;1\right)$.

     Or la droite (D) passe également par le point de coordonnées $\left(-2;3\right)$. D'où $$f\prime \left(-3\right)={\displaystyle \frac{3-1}{\left(-2\right)-\left(-3\right)}}=2$$

     Donc $f\prime \left(-3\right)=2$.

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   • La tangente à la courbe $\left(𝒞\right)$ au point d'abscisse − 1 est la droite (D') parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est nul.

     Donc $f\prime \left(-1\right)=0$.

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2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une seule représente la fonction dérivée $f\prime$ de f sur $ℝ$. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$. Vous expliquerez les raisons de votre choix.

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

   Par lecture graphique, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty ;-1]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[-1;+\infty [$.

   Par conséquent la courbe représentative de la dérivée $f\prime$ est située au dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $]-\infty ;-1]$ et en dessous de l'axe des abscisses sur $[-1;+\infty [$. Seules les courbes 1 et 3 peuvent convenir.

   Comme $f\prime \left(-3\right)=2$ alors,

   La courbe représentative de la fonction $f\prime$ est la courbe 1.

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3. Soit g la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left]-\mathrm{3,1};+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$.

   1. Donner les variations de la fonction g.

      La fonction g est la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction inverse. Par conséquent, sur tout intervalle où la fonction f ne s'annule pas les fonctions f et g ont des variations contraires.

      Donc la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\mathrm{3,1};-1]$ et strictement croissante sur l'intervalle $[-1;+\infty [$.

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   2. Calculer $g\prime \left(-3\right)$.

      $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ alors, pour tout rée x de l'intervalle $\left]-\mathrm{3,1};+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{{\left(f\left(x\right)\right)}^2}}$ . D'où $$\begin{array}{lllllll}g\prime \left(-3\right)& =& -{\displaystyle \frac{f\prime \left(-3\right)}{{\left(f\left(-3\right)\right)}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{2}{1^2}}& =& -2\end{array}$$

      Ainsi, $g\prime \left(-3\right)=-2$.

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