contrôle du 17 mai 2007

Corrigé de l'exercice 4

Soit f une fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(1-x\right)\left(x^2-2x-11\right)$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée. Sa courbe représentative ${𝒞}_f$ dans un repère orthogonal du plan est donnée ci-dessous.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Posons pour tout réel x, $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=1-x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-1\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-2x-11& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-2\end{array}$ alors, $f=u\times v$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$.

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& -\left(x^2-2x-11\right)+\left(1-x\right)\left(2x-2\right)\\ & =& -x^2+2x+11+2x-2-2x^2+2x\\ & =& -3x^2+6x+9\end{array}$$

   Ainsi pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=-3x^2+6x+9$.

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2. Étudier les variations de la fonction f.

   Les variations de la fonction f, se déduisent du signe de sa dérivée.

   $f\prime \left(x\right)=-3x^2+6x+9$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-3\text{, }b=6\text{ et }c=9$ , donc le discriminant du trinôme est $$\mathrm{\Delta }=6^2-4\times \left(-3\right)\times 9=144$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ le trinôme est donc du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.

   Or, les racines du trinôme sont: $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-6-12}{-6}}=3& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-6+12}{-6}}=-1\end{array}$$

   D'autre part, $a<0$, nous pouvons donc en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ ainsi que les variations de la fonction f

   x	$-\infty$		$-1$		3		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variation de f			$-16$		16

   Calcul des extremum

   • $f\left(-1\right)=2\times \left(1+2-11\right)=-16$.
   • $f\left(3\right)=-2\times \left(9-6-11\right)=16$.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1. Tracer la tangente T dans le repère ci-dessous.

   L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse − 3 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\prime \left(1\right)=-3\times 1^2+6\times 1+9=12$ et $f\left(1\right)=0$

   Par conséquent, la tangente T a pour équation $$\begin{array}{ccc}y=12\times \left(x-1\right)& \iff & y=12x-12\end{array}$$

   La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y=12x-12$.

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