contrôle du 01 février 2007

Corrigé de l'exercice 1

L'espace est rapporté à un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$. Les questions suivantes sont indépendantes :

1. Les points $A\left(1;4;-6\right)$, $B\left(-5;2;0\right)$ et $C\left(-2;3;-3\right)$ sont-ils alignés ?

   Les points A , B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires.

   • Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ a pour coordonnées $\left(-5-1;2-4;0-\left(-6\right)\right)$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(-6;-2;6\right)$.

   • Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ a pour coordonnées $(-2-1;3-4;-3-\left(-6\right))$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(-3;-1;3\right)$.

   Par conséquent, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

   Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires donc les points A , B et C sont alignés.

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2. Déterminer les réels a et b pour que les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-2;a;1\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(3;1;b\right)$ soient colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-2;a;1\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(3;1;b\right)$ soient colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.

   Soit :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rrr}-2& =& 3k\\ a& =& k\\ 1& =& kb\end{array}& \iff & \{\begin{array}{ccc}k& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ a& =& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ b& =& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(-2;-{\displaystyle \frac{2}{3}};1\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(3;1;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ sont colinéaires.

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3. Les points $A\left(2;-1;-1\right)$, $B\left(5;1;2\right)$, $C\left(4;0;0\right)$ et $D\left(2;-2;-4\right)$ sont-ils coplanaires ?

   Dire que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont coplanaires signifie que les points A, B, C et D appartiennent à un même plan.

   • Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ a pour coordonnées $\left(5-2;1-\left(-1\right);2-\left(-1\right)\right)$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(3;2;3\right)$.

   • Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ a pour coordonnées $\left(4-2;0-\left(-1\right);0-\left(-1\right)\right)$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(2;1;1\right)$.

   • Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ a pour coordonnées $\left(2-2;-2-\left(-1\right);-4-\left(-1\right)\right)$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AD}}\left(0;-1;-3\right)$.

   Or les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

   L'égalité vectorielle se traduit par un système :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{AC}}& \iff & \{\begin{array}{rrr}3\alpha +2\beta & =& 0\\ 2\alpha +\beta & =& -1\\ 3\alpha +\beta & =& -3\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}3\alpha +2\beta & =& 0\\ \alpha & =& -2\\ \beta & =& 3\end{array}\end{array}$$

   D'où $\alpha =-2$ et $\beta =3$ , et la première égalité est vérifiée $\left(3\times \left(-2\right)+2\times 3=0\right)$

   Ainsi, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

   Les points $A\left(2;-1;-1\right)$, $B\left(5;1;2\right)$, $C\left(4;0;0\right)$ et $D\left(2;-2;-4\right)$ sont coplanaires.

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