contrôles en première ES spécialité

contrôle du 01 février 2007

Corrigé de l'exercice 1

L'espace est rapporté à un repère (O;ı,ȷ,k). Les questions suivantes sont indépendantes :

  1. Les points A14-6, B-520 et C-23-3 sont-ils alignés ?

    Les points A , B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

    • Le vecteur AB a pour coordonnées -5-12-40--6 soit AB-6-26.

    • Le vecteur AC a pour coordonnées -2-13-4-3--6 soit AC-3-13.

    Par conséquent, AB=2AC.

    Les vecteurs AB et AC sont colinéaires donc les points A , B et C sont alignés.


  2. Déterminer les réels a et b pour que les vecteurs u-2a1 et v31b soient colinéaires.

    Les vecteurs u-2a1 et v31b soient colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que u=kv.

    Soit :{-2=3ka=k1=kb{k=-23a=-23b=-32

    Ainsi, les vecteurs u-2-231 et v31-32 sont colinéaires.


  3. Les points A2-1-1, B512, C400 et D2-2-4 sont-ils coplanaires ?

    Dire que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires signifie que les points A, B, C et D appartiennent à un même plan.

    • Le vecteur AB a pour coordonnées 5-21--12--1 soit AB323.

    • Le vecteur AC a pour coordonnées 4-20--10--1 soit AC211.

    • Le vecteur AD a pour coordonnées 2-2-2--1-4--1 soit AD0-1-3.

    Or les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que AD=αAB+βAC.

    L'égalité vectorielle se traduit par un système :AD=αAB+βAC{3α+2β=02α+β=-13α+β=-3{3α+2β=0α=-2β=3

    D'où α=-2 et β=3 , et la première égalité est vérifiée (3×-2+2×3=0)

    Ainsi, AD=-2AB+3AC.

    Les points A2-1-1, B512, C400 et D2-2-4 sont coplanaires.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.