contrôle du 01 février 2007

Corrigé de l'exercice 2

L'espace est rapporté à un repère $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ},\overrightarrow{k})$. On considère les points $A\left(1;1;1\right)$, $B\left(2;2;2\right)$ et $C\left(0;3;2\right)$.

1. Vérifier que A, B et C ne sont pas alignés et donner une équation du plan (ABC).

   • Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ a pour coordonnées $\left(2-1;2-1;2-1\right)$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(1;1;1\right)$.

   • Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ a pour coordonnées $\left(0-1;3-1;2-1\right)$ soit $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(-1;2;1\right)$.

   Il n'existe pas de réel k tel que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ donc les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un plan d'équation :$$ax+by+cz=d$$

   • $A\left(1;1;1\right)$ appartient au plan (ABC) alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où $a+b+c=d$

   • $B\left(2;2;2\right)$ appartient au plan (ABC) alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où $2a+2b+2c=d$

   • $C\left(0;3;2\right)$ appartient au plan (ABC) alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où $3b+2c=d$

   On a donc :$$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rrr}a+b+c& =& d\\ 2a+2b+2c& =& d\\ 3b+2c& =& d\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a+b+c& =& d\\ 2d& =& d\\ 3b+2c& =& d\end{array}\end{array}$$

   Soit $d=0$ le plan (ABC) passe par l'origine du repère. D'autre part, on trouve grâce à ces trois équations que $b=-{\displaystyle \frac{2}{3}}c$ et $a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}c$.

   Si on attribue à c la valeur $-3$, on trouve alors $a=1$ et $b=2$.

   Le plan (ABC) a pour équation $x+2y-3z=0$.

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2. Déterminer un système d'équations cartésiennes de la droite (AB).

   La droite (AB) est défine par les équations cartésiennes de deux plans sécants selon la droite (AB).

   Le plan (ABC) d'équation $x+2y-3z=0$ convient, il suffit donc de déterminer une équation d'un plan sécant au plan (ABC) et contenant la droite (AB).

   Soit $M\left(x;y;z\right)$ un point de la droite (AB). Les points M, A et B sont alignés, c'est à dire que les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AM}}\left(x-1;y-1;z-1\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\left(1;1;1\right)$ sont colinéaires.

   Soit ${\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{1}}$ . D'où l'équation d'un plan passant par les points A et B$$x-1=y-1\iff x-y=0$$.

   Ce plan est parallèle à l'axe (Oz), il est sécant au plan (ABC).

   Un système d'équations cartésiennes de la droite (AB) est $\{\begin{array}{rrr}x+2y-3z& =& 0\\ x-y& =& 0\end{array}$

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