contrôles en première ES spécialité

contrôle du 01 février 2007

Corrigé de l'exercice 2

L'espace est rapporté à un repère (O;ı,ȷ,k). On considère les points A111, B222 et C032.

  1. Vérifier que A, B et C ne sont pas alignés et donner une équation du plan (ABC).

    • Le vecteur AB a pour coordonnées 2-12-12-1 soit AB111.

    • Le vecteur AC a pour coordonnées 0-13-12-1 soit AC-121.

    Il n'existe pas de réel k tel que AB=kAC donc les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un plan d'équation :ax+by+cz=d

    • A111 appartient au plan (ABC) alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où a+b+c=d

    • B222 appartient au plan (ABC) alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où 2a+2b+2c=d

    • C032 appartient au plan (ABC) alors ses coordonnées vérifient l'équation du plan d'où 3b+2c=d

    On a donc :{a+b+c=d2a+2b+2c=d3b+2c=d{a+b+c=d2d=d3b+2c=d

    Soit d=0 le plan (ABC) passe par l'origine du repère. D'autre part, on trouve grâce à ces trois équations que b=-23c et a=-13c.

    Si on attribue à c la valeur -3, on trouve alors a=1 et b=2.

    Le plan (ABC) a pour équation x+2y-3z=0.


  2. Déterminer un système d'équations cartésiennes de la droite (AB).

    La droite (AB) est défine par les équations cartésiennes de deux plans sécants selon la droite (AB).

    Le plan (ABC) d'équation x+2y-3z=0 convient, il suffit donc de déterminer une équation d'un plan sécant au plan (ABC) et contenant la droite (AB).

    Soit Mxyz un point de la droite (AB). Les points M, A et B sont alignés, c'est à dire que les vecteurs AMx-1y-1z-1 et AB111 sont colinéaires.

    Soit x-11=y-11=z-11 . D'où l'équation d'un plan passant par les points A et Bx-1=y-1x-y=0.

    Ce plan est parallèle à l'axe (Oz), il est sécant au plan (ABC).

    Un système d'équations cartésiennes de la droite (AB) est {x+2y-3z=0x-y=0



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