contrôle du 03 mai 2007

Corrigé de l'exercice 1

On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ -2& 2& 1\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}9& -6\\ 2& -1\\ 14& -9\end{array}\right)$.

1. Sans utiliser la calculatrice, calculer le produit A⁢B.

   $$\begin{array}{ccccc}\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ -2& 2& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}9& -6\\ 2& -1\\ 14& -9\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}1\times 9+3\times 2-1\times 14& 1\times \left(-6\right)+3\times \left(-1\right)-1\times \left(-9\right)\\ -2\times 9+2\times 2+1\times 14& -2\times \left(-6\right)+2\times \left(-1\right)+1\times \left(-9\right)\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

   $AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

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2. Peut-on conclure que la matrice B est l'inverse de la matrice A ?

   A n'est pas une matrice carrée donc la la matrice A n'a pas d'inverse.

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   vérification

   Le produit A⁢B est une matrice carrée d'ordre 2 alors que le produit B⁢A est une matrice carrée d'ordre 3 :$$\begin{array}{ccccc}BA& =& \left(\begin{array}{cc}9& -6\\ 2& -1\\ 14& -9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ -2& 2& 1\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}21& 15& -15\\ 4& 4& -3\\ 32& 24& -23\end{array}\right)\end{array}$$

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