contrôles en première ES spécialité

contrôle du 03 mai 2007

thèmes abordés

  • Résolution d'un système d'équations à l'aide des matrices.
  • Matrices et translation .
  • Évolution d'un système, matrice de transition.

exercice 1

Traduire le système S{3x-2y+z=17x-3z=-513y+2z=-34 par une égalité matricielle de la forme AX=B.
À l'aide la calculatrice déterminer la matrice A-1 et résoudre le système.


exercice 2

Soit Mxy un point du plan, de coordonnées cartésiennes x et y. On appelle matrice des coordonnées homogènes du point M la matrice M=xy1.

Par exemple, la matrice des coordonnées homogènes du point A-52 est A=-521.
Réciproquement, le point B dont la matrice des coordonnées homogènes est B=-3-21 a pour coordonnées cartésiennes B-3-2.

  1. Donner les matrices des coordonnées homogènes des points C52 et D36.

  2. On considère la matrice T=1000103-21. On définit une transformation t de la manière suivante :
    À tout point Mxy du plan on associe le point Mxy tel que xy1=xy1×Txy1 et xy1 sont les matrices des coordonnées homogènes des points M et M'.

    1. Calculer les coordonnées cartésiennes des points A', B', C' et D' images respectives des points A, B, C et D par la transformation t.

    2. Dans le plan muni d'un repère orthonormé, placer les points A, B, C, D et A', B', C', D'. Quelle semble être la transformation t ?

    3. Soit Nab un point du plan, N' l'image du point N par la transformation t. Calculer les coordonnées du vecteur NN. En déduire la nature de la transformation t.


exercice 3

Dans une région supposée démographiquement stable, on compte 100 milliers d'habitants qui se déplacent pour se rendre à leur travail.
Au 1er janvier 2007 on considère que 50 000 personnes n'utilisent que leur voiture pour leurs déplacements ; 40 000 personnes n'utilisent que les transports en commun pour leurs déplacements ; les autres personnes utilisant un autre moyen de transport (vélo, roller etc...).

Une étude statistique réalisée les mois précédents a permis d'établir que d'un mois sur l'autre :

On considère que les résultats de cette étude sont valables pour les deux années suivantes.

On note pn=vncnan le vecteur colonne où vn est le nombre de personnes qui utilisent leur voiture, cn le nombre de personnes qui utilisent les transports en commun et an le nombre de personnes qui utilisent un autre moyen de transport n mois après le 1er janvier 2007.

  1. Exprimer v1, c1 et a1 en fonction de v0, c0 et a0. En déduire la matrice M telle que p1=M×p0.

  2. Exprimer à l'aide de M, la matrice N telle que p3=N×p0. Donner le nombre de personnes qui utilisent respectivement, la voiture, les transports en commun ou un autre moyen de transport le 1er avril 2007.

  3. En admettant que pn=Mn×p0 , donner une estimation du nombre de personnes, arrondi à la centaine près, qui utiliseront respectivement, la voiture, les transports en commun ou un autre moyen de transport deux ans après le 1er janvier 2007.


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✉ A.Yallouz

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