contrôles en première ES spécialité

contrôle du 03 mai 2007

Corrigé de l'exercice 3

Un artisan fabrique trois articles notés $A_{1}$ , $A_{2}$ et $A_{3}$ .

Le tableau suivant présente le nombre d'unités de matières premières et les coûts de production en euros, nécessaires à la fabrication de chaque article.

	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$
Nombre d'unités de matières premières	6	8	12
Coût de production (en €)	48	60	80

On note x, y, z le nombre respectif d'articles $A_{1}$ , $A_{2}$ et $A_{3}$ fabriqués.
Pour un nombre total A d'articles fabriqués, P est le nombre total d'unités de matières premières utilisées et C est le montant en euros du coût total de production.

1. Exprimer A, P et C en fonction de x, y et z.
  - $A = x + y + z$ .
  - $P = 6 x + 8 y + 12 z$ .
  - $C = 48 x + 60 y + 80 z$ .
2. Déterminer la matrice M tel que $M \times (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} A \\ P \\ C \end{matrix})$ .
  Soit $M = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 12 \\ 48 & 60 & 80 \end{matrix})$ alors : $\begin{matrix} M \times (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 12 \\ 48 & 60 & 80 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) & = & (\begin{array}{l} x + y + z \\ 6 x + 8 y + 12 z \\ 48 x + 60 y + 80 z \end{array}) \end{matrix}$ .
  La matrice M tel que $M \times (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} A \\ P \\ C \end{matrix})$ est $M = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 12 \\ 48 & 60 & 80 \end{matrix})$ .
L'artisan reçoit une commande 155 articles, ce qui a nécessité l'utilisation de 1 380 unités de matières premières, pour un coût total de production de 9 900 €.
Calculer le nombre d'articles de chaque type qui ont été commandés.
Soient x, y, z le nombre d'articles de chaque type qui ont été commandés. x, y et z sont solutions du système : ${\begin{array}{r} x + y + z & = & 155 \\ 6 x + 8 y + 12 z & = & 1380 \\ 48 x + 60 y + 80 z & = & 9900 \end{array}$ .
Posons $M = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 12 \\ 48 & 60 & 80 \end{matrix})$ , $X = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ et $D = (\begin{array}{r} 155 \\ 1380 \\ 9900 \end{array})$ . Le système s'écrit sous forme matricielle : $M X = D$
La matrice M est inversible et l'inverse de la matrice M obtenue à la calculatrice est : $M^{- 1} = (\begin{matrix} 10 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 12 & - 4 & \frac{3}{4} \\ 3 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{4} \end{matrix})$
Or $\begin{matrix} M X = D & \Leftrightarrow & M^{- 1} M X = M^{- 1} D & \Leftrightarrow & X = M^{- 1} D \end{matrix}$ Soit $\begin{array}{l} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 10 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} \\ - 12 & - 4 & \frac{3}{4} \\ 3 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{4} \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 155 \\ 1380 \\ 9900 \end{array}) & = & (\begin{matrix} 50 \\ 45 \\ 60 \end{matrix}) \end{array}$
Le système ${\begin{array}{r} x + y + z & = & 155 \\ 6 x + 8 y + 12 z & = & 1380 \\ 48 x + 60 y + 80 z & = & 9900 \end{array}$ admet pour solution le triplet $(50; 45; 60)$ .
La demande a été de 50 articles $A_{1}$ , 45 articles $A_{2}$ et 60 articles $A_{3}$ .

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