contrôle du 03 mai 2007

Corrigé de l'exercice 2

1. 1. Traduire le système $\left(S\right)\{\begin{array}{rrr}5x+6y+5z& =& 30\\ 4x+5y& =& 20\\ 5y+6z& =& 30\end{array}$ par une égalité matricielle de la forme $AX=B$.

      Posons $A=\left(\begin{array}{ccc}5& 6& 5\\ 4& 5& 0\\ 0& 5& 6\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)$.

      Le système s'écrit sous forme matricielle : $AX=B$

      ---

   2. À l'aide la calculatrice déterminer la matrice $A^{-1}$ et résoudre le système.

      La matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{15}{53}}& -{\displaystyle \frac{11}{106}}& -{\displaystyle \frac{25}{106}}\\ -{\displaystyle \frac{12}{53}}& {\displaystyle \frac{15}{53}}& {\displaystyle \frac{10}{53}}\\ {\displaystyle \frac{10}{53}}& -{\displaystyle \frac{25}{106}}& {\displaystyle \frac{1}{106}}\end{array}\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccccc}AX=B& \iff & A^{-1}AX=A^{-1}B& \iff & X=A^{-1}B\end{array}$$ Soit $$\begin{array}{lllll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{15}{53}}& -{\displaystyle \frac{11}{106}}& -{\displaystyle \frac{25}{106}}\\ -{\displaystyle \frac{12}{53}}& {\displaystyle \frac{15}{53}}& {\displaystyle \frac{10}{53}}\\ {\displaystyle \frac{10}{53}}& -{\displaystyle \frac{25}{106}}& {\displaystyle \frac{1}{106}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}30\\ 20\\ 30\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{35}{53}}\\ {\displaystyle \frac{240}{53}}\\ {\displaystyle \frac{65}{53}}\end{array}\right)\end{array}$$

      Le système $\left(S\right)$ admet pour solution le triplet $\left(-{\displaystyle \frac{35}{53}};{\displaystyle \frac{240}{53}};{\displaystyle \frac{65}{53}}\right)$.

      ---

2. Dans l 'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

   1. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système $\left(S\right)$ ?

      Dans l'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ :

      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $5x+6y+5z=30$ est un plan $P_1$.
      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $4x+5y=20$ est un plan $P_2$.
      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $5y+6z=30$ est un plan $P_3$.

      Les trois plans $P_1$, $P_2$ et $P_3$ se coupent en un point $S\left(-{\displaystyle \frac{35}{53}};{\displaystyle \frac{240}{53}};{\displaystyle \frac{65}{53}}\right)$.

      ---

   2. Représenter, la résolution graphique du système $\left(S\right)$.

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.