contrôles en première ES

contrôle du 20 mai 2010

Corrigé de l'exercice 1

Dans le cadre de la restructuration de son entreprise, le directeur souhaite qu'à long terme plus de 85 % de ses employés ne travaillent que le matin.
Pour cela, il décide que désormais :

20 % des employés travaillant le matin une semaine donnée travaillent l'après-midi la semaine suivante.
10 % des employés travaillant l'après-midi une semaine donnée travaillent aussi l'après-midi la semaine suivante.

La semaine de la décision est notée 0, on note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix})$ la matrice où :

$a_{n}$ est le pourcentage des salariés qui travaillent le matin la n-ième semaine après la prise de décision.
$b_{n}$ est le pourcentage des salariés qui travaillent l'après-midi la n-ième semaine après la prise de décision.

partie a

La semaine de la décision, 60 % des employés travaillent le matin. Ainsi, $P_{0} = (\begin{matrix} 0,6 \\ 0,4 \end{matrix})$ . Calculer la matrice $P_{1}$ décrivant la répartition du travail une semaine après la prise de décision.

20 % des employés travaillant le matin une semaine donnée travaillent l'après-midi la semaine suivante et 10 % des employés travaillant l'après-midi une semaine donnée travaillent aussi l'après-midi la semaine suivante d'où : $\begin{array}{ll} b_{1} = 0,6 \times 0,2 + 0,4 \times 0,1 = 0,16 \\ et & a_{1} = 1 - 0,16 = 0,84 \end{array}$
Ainsi, $P_{1} = (\begin{matrix} 0,84 \\ 0,16 \end{matrix})$ .
On note M la matrice carrée telle que, pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = M \times P_{n}$ .
1. Exprimer $a_{n + 1}$ et $b_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$ .
  20 % des employés travaillant le matin une semaine donnée travaillent l'après-midi la semaine suivante et 10 % des employés travaillant l'après-midi une semaine donnée travaillent aussi l'après-midi la semaine suivante d'où : $\begin{array}{ll} b_{n + 1} = 0,2 \times a_{n} + 0,1 \times b_{n} \\ et & a_{n + 1} = (1 - 0,2) \times a_{n} + (1 - 0,1) \times b_{n} = 0,8 \times a_{n} + 0,9 \times b_{n} \end{array}$
  Ainsi, $a_{n + 1} = 0,8 a_{n} + 0,9 b_{n}$ et $b_{n + 1} = 0,2 a_{n} + 0,1 b_{n}$ .
2. En déduire la matrice M telle que $P_{n + 1} = M \times P_{n}$ .
  
  Pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = (\begin{matrix} 0,8 \times a_{n} + 0,9 \times b_{n} \\ 0,2 \times a_{n} + 0,1 \times b_{n} \end{matrix})$ . D'où : $\begin{matrix} M \times (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8 \times a_{n} + 0,9 \times b_{n} \\ 0,2 \times a_{n} + 0,1 \times b_{n} \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} 0,8 & 0,9 \\ 0,2 & 0,1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8 \times a_{n} + 0,9 \times b_{n} \\ 0,2 \times a_{n} + 0,1 \times b_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
  La matrice M telle que $P_{n + 1} = M \times P_{n}$ est $M = (\begin{matrix} 0,8 & 0,9 \\ 0,2 & 0,1 \end{matrix})$ .
Calculer $P_{3}$ . Interpréter le résultat obtenu.
- méthode 1
  $P_{2} = M \times P_{1}$ soit $P_{2} = (\begin{matrix} 0,8 & 0,9 \\ 0,2 & 0,1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,84 \\ 0,16 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,816 \\ 0,184 \end{matrix})$
  
  $P_{3} = M \times P_{2}$ soit $P_{3} = (\begin{matrix} 0,8 & 0,9 \\ 0,2 & 0,1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,816 \\ 0,184 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8184 \\ 0,1816 \end{matrix})$
- méthode 2
  
  Nous avons $P_{2} = M \times P_{1}$ d'où $P_{2} = M \times (M \times P_{0})$ soit $P_{2} = M^{2} \times P_{0}$ .
  De même, $P_{3} = M \times P_{2}$ d'où $P_{3} = M \times (M^{2} \times P_{0})$ soit $P_{3} = M^{3} \times P_{0}$ .
  
  D'où $\begin{matrix} P_{3} & = & {(\begin{matrix} 0,8 & 0,9 \\ 0,2 & 0,1 \end{matrix})}^{3} \times (\begin{matrix} 0,6 \\ 0,4 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,8184 \\ 0,1816 \end{matrix}) \end{matrix}$
$P_{3} = (\begin{matrix} 0,8184 \\ 0,1816 \end{matrix})$ . Trois semaines après la prise de décision 81,84 % des employés travaillent le matin et 18,16 % des employés travaillent l'après-midi.

partie b

On admet, qu'à long terme, la répartition des salariés entre ceux qui travaillent le matin et ceux qui travaillent l'après-midi se stabilise.
Soit $P = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ la matrice associée à l'état stable on a alors $P = M \times P$ avec $M = (\begin{matrix} 0,8 & 0,9 \\ 0,2 & 0,1 \end{matrix})$ et $a + b = 1$ .

Montrer que a et b vérifient l'égalité $0,2 a - 0,9 b = 0$ .

$\begin{matrix} (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = (\begin{array}{ll} 0,8 & 0,9 \\ 0,2 & 0,1 \end{array}) \times (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8 a + 0,9 b \\ 0,2 a + 0,1 b \end{matrix}) \end{matrix}$
D'où a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} a = 0,8 a + 0,9 b \\ b = 0,2 a + 0,1 b \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} 0,2 a - 0,9 b = 0 \\ - 0,2 a + 0,9 b = 0 \end{cases} \end{matrix}$
a et b vérifient l'égalité $0,2 a - 0,9 b = 0$ .
Déterminer a et b.
Comme $a + b = 1$ , on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} 0,2 a - 0,9 b = 0 \\ a + b = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} 1,1 a = 0,9 \\ a + b = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} a = \frac{9}{11} \\ b = \frac{2}{11} \end{cases} \end{matrix}$
La matrice associée à l'état stable est $P = (\begin{matrix} \frac{9}{11} \\ \frac{2}{11} \end{matrix})$ .
Le souhait du directeur de cette entreprise est-il réalisable ? Justifier la réponse.

À partir d'un certain nombre de semaines, la proportion d'employés qui travaillent le matin est proche de $\frac{9}{11} \approx 0,818$ . Le souhait du directeur de cette entreprise n'est pas réalisable dans ces conditions.

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