contrôle du 20 mai 2010

Corrigé de l'exercice 2

1. 1. Traduire le système $\left(S\right)\{\begin{array}{rrr}4x+4y+3z& =& 24\\ 5x+4y& =& 20\\ 3y+4z& =& 24\end{array}$ par une égalité matricielle de la forme $AX=B$.

      Posons $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 4& 3\\ 5& 4& 0\\ 0& 3& 4\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}24\\ 20\\ 24\end{array}\right)$.

      Le systèmes'écrit sous forme matricielle : $AX=B$

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   2. À l'aide la calculatrice déterminer la matrice $A^{-1}$ et résoudre le système.

      La matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{16}{29}}& -{\displaystyle \frac{7}{29}}& -{\displaystyle \frac{12}{29}}\\ -{\displaystyle \frac{20}{29}}& {\displaystyle \frac{16}{29}}& {\displaystyle \frac{15}{29}}\\ {\displaystyle \frac{15}{29}}& -{\displaystyle \frac{12}{29}}& -{\displaystyle \frac{4}{29}}\end{array}\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccccc}AX=B& \iff & A^{-1}AX=A^{-1}B& \iff & X=A^{-1}B\end{array}$$ Soit $$\begin{array}{lllll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{16}{29}}& -{\displaystyle \frac{7}{29}}& -{\displaystyle \frac{12}{29}}\\ -{\displaystyle \frac{20}{29}}& {\displaystyle \frac{16}{29}}& {\displaystyle \frac{15}{29}}\\ {\displaystyle \frac{15}{29}}& -{\displaystyle \frac{12}{29}}& -{\displaystyle \frac{4}{29}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}24\\ 20\\ 24\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}-{\displaystyle \frac{44}{29}}\\ {\displaystyle \frac{200}{29}}\\ {\displaystyle \frac{24}{29}}\end{array}\right)\end{array}$$

      Le système $\left(S\right)$ admet pour solution le triplet $\left(-{\displaystyle \frac{44}{29}};{\displaystyle \frac{200}{29}};{\displaystyle \frac{24}{29}}\right)$.

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2. Dans l'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

   1. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système $\left(S\right)$

      Dans l'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ :

      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $4x+4y+3z=24$ est un plan (P).
      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $5x+4y=20$ est un plan (Q) parallèle à l'axe (Oz).
      • L'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient l'équation $3y+4z=24$ est un plan (R) parallèle à l'axe (Ox).

      Les trois plans (P), (Q) et (R) se coupent en un point S de coordonnées $S\left(-{\displaystyle \frac{44}{29}};{\displaystyle \frac{200}{29}};{\displaystyle \frac{24}{29}}\right)$.

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   2. Représenter, la résolution graphique du système $\left(S\right)$.

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