contrôle du 8 avril 2011

Corrigé de l'exercice 1

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f sur ℝ. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Le discriminant du trinôme $v\left(x\right)=x^2-2x+4$ est $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4-16=-12\end{array}$ donc pour tout réel x, $x^2-2x+4>0$.

   $f={\displaystyle \frac{u}{v}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ avec $v\ne 0$ d'où f est dérivable et $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}+0$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=4x-5& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-2x+4& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-2\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times \left(x^2-2x+4\right)-\left(4x-5\right)\times \left(2x-2\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2-8x+16-\left(8x^2-8x-10x+10\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-4x^2+10x+6}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(-2x^2+5x+3\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $x^2-2x+4>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-2x^2+5x+3$ avec $a=-2$, $b=5$ et $c=3$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=25+24=49\end{array}$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-5-7}{-4}}=3\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-5+7}{-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		3		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   2. En déduire le tableau des variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variations de f			$-1$		${\displaystyle \frac{4}{3}}$

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3. Déterminer une équation des tangentes à la courbe $C_f$ aux points A et B d'abscisses respectives 1 et 3.
   Tracer ces deux tangentes dans le repère précédent.

   • La tangente $T_1$ à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation : $$y=f\prime \left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

     Or $$\begin{array}{ccc}f\left(1\right)={\displaystyle \frac{4-5}{1-2+4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=0& \text{et}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{2\times \left(-2+5+3\right)}{3^2}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

     D'où une équation de la tangente $T_1$ :$y={\displaystyle \frac{4}{3}}\times \left(x-1\right)$

     La tangente $T_1$ à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation $y={\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{4}{3}}$.

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   • La tangente $T_2$ à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 3 a pour équation : $$y=f\prime \left(3\right)\left(x-3\right)+f\left(3\right)$$

     Or $$\begin{array}{ccc}f\left(3\right)={\displaystyle \frac{12-5}{9-6+4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}& \text{et}& f\prime \left(3\right)=0\end{array}$$

     La tangente $T_2$ à la courbe ${𝒞}_f$ au point B d'abscisse 3 a pour équation $y={\displaystyle \frac{4}{3}}$.

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