contrôles en première ES

contrôle du 8 avril 2011

Corrigé de l'exercice 2

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 125$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 10$ .

Calculer $u_{3}$ . La suite $(u_{n})$ est-elle géométrique ?

$\begin{array}{l} u_{1} = 0,8 \times 125 + 10 = 110 \\ u_{2} = 0,8 \times 110 + 10 = 98 \\ u_{3} = 0,8 \times 98 + 10 = 88,4 \end{array}$

En en déduit que : $\begin{matrix} \frac{u_{1}}{u_{0}} = \frac{110}{125} = \frac{22}{25} & et & \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{98}{110} = \frac{49}{55} \end{matrix}$

$u_{3} = 88,4$ . Comme $\frac{u_{1}}{u_{0}} \neq \frac{u_{2}}{u_{1}}$ on en déduit que la suite $(u_{n})$ n'est pas géométrique.
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 50$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 50 \\ = & 0,8 u_{n} + 10 - 50 \\ = & 0,8 u_{n} - 40 \\ = & 0,8 \times (u_{n} - 50) \\ = & 0,8 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,8 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8.
2. Exprimer alors $v_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8 dont le premier terme $v_{0} = 125 - 50 = 75$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = 75 \times {0,8}^{n}$ .
3. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de n puis, calculer la valeur arrondie au centième près de $u_{30}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 50 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 50$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 75 \times {0,8}^{n} + 50$
1. Déterminer, en fonction de n, la somme $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ .
  $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ est la somme des $n + 1$ premiers termes d'une suite géométrique d'où : $\begin{array}{l} v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} & = & 75 \times \frac{1 - {0,8}^{n + 1}}{1 - 0,8} \\ = & 375 \times (1 - {0,8}^{n + 1}) \end{array}$
  Pour tout entier n non nul, $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} = 375 - 300 \times {0,8}^{n}$ .
2. Calculer la valeur arrondie au centième près, de la somme $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{19}$ .
  
  $\begin{array}{l} u_{0} + u_{1} + \dots + u_{19} & = & (v_{0} + 50) + (v_{1} + 50) + \dots + (v_{19} + 50) \\ = & (v_{0} + v_{1} + \dots + v_{19}) + 20 \times 50 \\ = & (375 - 300 \times {0,8}^{19}) + 1000 \\ = & 1375 - 300 \times {0,8}^{19} \end{array}$
  $S = 1375 - 300 \times {0,8}^{19}$ soit arrondie au centième près, $S \approx 1370,68$ .

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