cours première ES

Le second degré

II - Équation du second degré

Une équation du second degré à une inconnue x, est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax2+bx+c=0a, b, c sont des réels et a0.

L'équation ax2+bx+c=0 avec a0 peut s'écrire sous la forme ax+b2a2-b2-4ac4a2=0.

On pose Δ=b2-4ac, l'équation ax2+bx+c=0 avec a0 équivaut à l'équation ax+b2a2-Δ4a2=0, soit encore x+b2a2-Δ4a2=0.

remarque

Le nombre Δ=b2-4ac est appelé le discriminant du trinôme ax2+bx+c.

1 - Propriété

Soit S l'ensemble des solutions dans de l'équation du second degré ax2+bx+c=0a, b et c sont des réels fixés avec a0 et Δ=b2-4ac le discriminant du trinôme.

  • Si Δ<0 alors l'équation n'a pas de solution ; S=.
  • Si Δ=0 alors l'équation a une seule solution ; S=-b2a.
  • Si Δ>0 alors l'équation a deux solutions ; S=-b-Δ2a-b+Δ2a

exemple

Résoudre dans l'équation 6x2-3=7x.

Pour tout réel x,6x2-3=7x6x2-7x-3=0 Il s'agit de résoudre une équation du second degré avec a=6, b=-7 et c=-3.

Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=-72-4×6×-3=121.

Comme Δ>0, l'équation admet deux solutions :x1=-b-Δ2asoitx1=7-12112=-12etx2=-b+Δ2asoitx2=7+12112=32 L'ensemble des solutions de l'équation 6x2-3=7x est S=-1232.

2 - Interprétation graphique

a<0a>0
Δ<0Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses

Δ=0Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La parabole est tangente en un point à l'axe des abscisses

Δ>0Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points

remarque

Les solutions éventuelles de l'équation ax2+bx+c=0 sont aussi appelées les racines du trinôme ax2+bx+c.


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