cours première ES

Le second degré

II - Équation du second degré

Une équation du second degré à une inconnue x, est une équation qui peut s'écrire sous la forme $a x^{2} + b x + c = 0$ où a, b, c sont des réels et $a \neq 0$ .

L'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq 0$ peut s'écrire sous la forme $a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}] = 0$ .

On pose $Δ = b^{2} - 4 a c$ , l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq 0$ équivaut à l'équation $a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}}] = 0$ , soit encore ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}} = 0$ .

Si $Δ < 0$ alors $\frac{Δ}{4 a^{2}} < 0$ et ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}} > 0$ . Donc l'équation du second degré n'a pas de solution.
Si $Δ = 0$ alors l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq 0$ équivaut à l'équation ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0$ . Donc l'équation du second degré a pour unique solution $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ > 0$ alors : $\begin{array}{rcl} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a^{2}} = 0 & \Leftrightarrow & {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{Δ}}{4 a^{2}})}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & (x + \frac{b}{2 a} + \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b}{2 a} - \frac{\sqrt{Δ}}{2 a}) = 0 \\ \Leftrightarrow & (x + \frac{b + \sqrt{Δ}}{2 a}) (x + \frac{b - \sqrt{Δ}}{2 a}) = 0 \end{array}$ Donc l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ avec $a \neq 0$ a deux solutions $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

remarque

Le nombre $Δ = b^{2} - 4 a c$ est appelé le discriminant du trinôme $a x^{2} + b x + c$ .

1 - Propriété

Soit S l'ensemble des solutions dans $ℝ$ de l'équation du second degré $a x^{2} + b x + c = 0$ où a, b et c sont des réels fixés avec $a \neq 0$ et $Δ = b^{2} - 4 a c$ le discriminant du trinôme.

Si $Δ < 0$ alors l'équation n'a pas de solution ; $S = \emptyset$ .
Si $Δ = 0$ alors l'équation a une seule solution ; $S = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ > 0$ alors l'équation a deux solutions ; $S = {\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}; \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}}$

exemple

Résoudre dans $ℝ$ l'équation $6 x^{2} - 3 = 7 x$ .

Pour tout réel x, $\begin{matrix} 6 x^{2} - 3 = 7 x & \Leftrightarrow & 6 x^{2} - 7 x - 3 = 0 \end{matrix}$ Il s'agit de résoudre une équation du second degré avec $a = 6$ , $b = - 7$ et $c = - 3$ .

Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ soit $Δ = {(- 7)}^{2} - 4 \times 6 \times (- 3) = 121$ .

Comme $Δ > 0$ , l'équation admet deux solutions : $\begin{array}{crcl} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & soit & x_{1} = \frac{7 - \sqrt{121}}{12} = - \frac{1}{2} \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & soit & x_{2} = \frac{7 + \sqrt{121}}{12} = \frac{3}{2} \end{array}$ L'ensemble des solutions de l'équation $6 x^{2} - 3 = 7 x$ est $S = {- \frac{1}{2}; \frac{3}{2}}$ .

2 - Interprétation graphique

	$a < 0$	$a > 0$
$Δ < 0$
	La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses
$Δ = 0$
	La parabole est tangente en un point à l'axe des abscisses
$Δ > 0$
	La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points

remarque

Les solutions éventuelles de l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ sont aussi appelées les racines du trinôme $a x^{2} + b x + c$ .

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