cours première ES

Le second degré

I - Fonction polynôme du second degré

1 - Définition

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f définie sur par fx=ax2+bx+ca, b, c sont des réels et a0.

exemples

2 - Forme canonique

Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c avec a0, peut s'écrire sous la forme : fx=ax-α2+βavecα=-b2aetβ=fα

démonstration

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c avec a0.

Comme a0, pour tout réel x, fx=ax2+bax+ca. Or pour tout réel x, x+b2a2=x2+bax+b24a2. On en déduit que pour tout réel x, fx=ax+b2a2-b24a2+ca=ax+b2a2-b2-4ac4a2=ax+b2a2-b2-4ac4a

Soit en posant α=-b2a et β=fα=-b2-4ac4a, on obtient pour tout réel x, fx=ax-α2+β.

exemple

Cherchons la forme canonique de la fonction f définie sur par fx=-2x2-3x+2.

Pour tout réel x, fx=-2x2+32x-1=-2x+342-916-1=-2x+342-2516

Ainsi, pour tout réel x, fx=-2x+342+258.

3 - Variations

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c avec a0.

Les variations de f sont données par les tableaux suivants :

a<0a>0
x--b2a+x--b2a+
fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

f-b2a

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fxfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

f-b2a

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

démonstration

La forme canonique d'une fonction polynôme du second degré, permet de déduire ses variations à partir des variations de la fonction carré.

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c avec a0, alors pour tout réel x, fx=ax-α2+β avec α=-b2a et β=fα.

  1. Étudions le cas où a<0

    • Si x1<x2α alors, x1-α<x2-α0 comme la fonction carré est strictement décroissante sur -0 on en déduit que x1-α2>x2-α2ax1-α2<ax2-α2a<0!ax1-α2+β<ax2-α2+βsoitfx1<fx2 La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle -α
    • Si αx1<x2 alors, 0x1-α<x2-α comme la fonction carré est strictement croissante sur 0+ on en déduit que x1-α2<x2-α2ax1-α2>ax2-α2a<0!ax1-α2+β>ax2-α2+βsoitfx1>fx2 La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle α+

    Ainsi, si a<0 la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle --b2a et strictement décroissante sur l'intervalle -b2a+

  2. Étudions le cas où a>0

    • Si x1<x2α alors, x1-α<x2-α0 d'où x1-α2>x2-α2ax1-α2>ax2-α2ax1-α2+β>ax2-α2+βsoitfx1>fx2 La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle -α
    • Si αx1<x2 alors, 0x1-α<x2-α d'où x1-α2<x2-α2ax1-α2<ax2-α2ax1-α2+β<ax2-α2+βsoitfx1<fx2 La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle α+

    Ainsi, si a>0 la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle --b2a et strictement croissante sur l'intervalle -b2a+

exemple

Soit f la fonction définie sur par par fx=-3x2-2x+1. Ici a=-3, b=-2 et c=1. Ainsi, -b2a=-13 et f-13=13.
Comme a<0, on en déduit le tableau des variations de f :

x--13+
fxfonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

13

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

4 - Courbe représentative

Dans un repère orthogonal Oıȷ du plan, la courbe représentative d'une fonction polynôme f de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c avec a0 est une parabole.
On dit que la parabole a pour équation y=ax2+bx+c.

Le sommet S de la parabole a pour abscisse α=-b2a. Il correspond au maximum ou au minimum sur de la fonction f.

La parabole a pour axe de symétrie la droite d'équation x=-b2a.

a<0a>0
Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La parabole est tournée vers le bas.

Parabole : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La parabole est tournée vers le haut


Symétrie de la parabole

Pour des raisons de symétrie, l'abscisse α du sommet de la parabole est la moyenne des abscisses x1 et x2 de deux points de la parabole ayant même ordonnée : α=x1+x22.

exemple

f est une fonction polynôme de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c telle que f-1=0, f1=-10 et f4=-10. On note 𝒫 sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

  1. Quelle est l'abscisse du sommet S de la parabole 𝒫 ?

    f1=f4=-10 donc l'abscisse du sommet S est α=1+42=52.

  2. Quelles les coordonnées des points d'intersection de la parabole 𝒫 avec l'axe des abscisses ?

    f-1=0 donc la parabole 𝒫 coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées -10. L'abscisse xBdu deuxième point d'intersection est telle que : -1+xB2=52xB=6

    Ainsi, la parabole 𝒫 coupe l'axe des abscisses en deux points A-10 et B60


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