Le second degré

III - Signe du trinôme

1 - Factorisation

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$ et $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ le discriminant du trinôme. Pour tout réel x, $$f\left(x\right)=a\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}\right]$$

• Si $\mathrm{\Delta }<0$ alors $f\left(x\right)$ est le produit par a d'une somme de deux nombres positifs ; le trinôme ne se factorise pas.
• Si $\mathrm{\Delta }=0$ alors . Soit en notant $x_0=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ l'unique racine on a : $f\left(x\right)=a{\left(x-x_0\right)}^2$
• Si $\mathrm{\Delta }>0$ alors $f\left(x\right)=a\left(x+{\displaystyle \frac{b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\right)$. Soit en notant $x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ et $x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}$ les deux racines on a : $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

On en déduit la propriété suivante :

2 - Étude du signe

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ avec $a\ne 0$ et $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ le discriminant du trinôme. Pour tout réel x, $$f\left(x\right)=a\left[{\left(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}\right]$$

• Si $\mathrm{\Delta }<0$ alors $f\left(x\right)$ est le produit par a d'une somme de deux nombres positifs donc le signe du trinôme est le signe de a pour tout réel x.
• Si $\mathrm{\Delta }=0$ alors donc $f\left(x\right)$ est nul pour $x\ne -{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ ; pour les autres valeurs de x le signe du trinôme est le signe de a.
• Si $\mathrm{\Delta }>0$, $x_1$ et $x_2$ désignant les deux racines du trinôme avec $x_1<x_2$ alors $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$. Étudions le signe du produit $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ à l'aide d'un tableau de signe :

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  x	$-\infty$		$x_1$		$x_2$		$+\infty$
  $\left(x-x_1\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
  $\left(x-x_2\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
  $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$		signe de a	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	signe de $-a$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	signe de a

On en déduit la propriété suivante :

remarque

On retiendra la règle : « Un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. ».

exemples

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+3⩽0$.

   Étudions le signe du trinôme $-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+3$ avec $a=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, $b=-1$ et $c=3$.

   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\times 3=4$.

   Comme $\mathrm{\Delta }>0$, le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{crcl}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-\sqrt{4}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{soit}& x_2={\displaystyle \frac{1+\sqrt{4}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=-6\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. Ainsi :

   x	$-\infty$		$-6$		2		$+\infty$
   $-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+3$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-x+3⩽0$ est $S=\left]-\infty ;-6\right]\cup \left[2;+\infty \right[$.

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2. Étudier les positions relatives de la parabole $𝒫$ d'équation $y=x^2$ avec la droite $𝒟$ d'équation $y=2x-3$.

   Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de $$x^2-\left(2x-3\right)=x^2-2x+3$$

   Le discriminant du trinôme $x^2-2x+3$ est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times 3=-8$.

   Comme $\mathrm{\Delta }<0$ le trinôme est du signe de a donc pour tout réel x, $x^2-2x+3>0$.

   La parabole $𝒫$ est au dessus de la droite $𝒟$.

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