cours première ES

Le second degré

III - Signe du trinôme

1 - Factorisation

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c avec a0 et Δ=b2-4ac le discriminant du trinôme. Pour tout réel x, fx=ax+b2a2-Δ4a2

On en déduit la propriété suivante :

Factorisation du trinôme ax2+bx+c avec a0 :

  • Si Δ<0 alors le trinôme ne se factorise pas.
  • Si Δ=0 en notant x0 l'unique racine : fx=ax-x02.
  • Si Δ>0 en notant x1 et x2 les deux racines : fx=ax-x1x-x2.

2 - Étude du signe

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par fx=ax2+bx+c avec a0 et Δ=b2-4ac le discriminant du trinôme. Pour tout réel x, fx=ax+b2a2-Δ4a2

On en déduit la propriété suivante :

Soit f un polynôme du second degré défini sur par fx=ax2+bx+c avec a0 et Δ=b2-4ac le discriminant du trinôme.

  • Si Δ<0 alors pour tout réel x, fx est du signe de a.
  • Si Δ=0 alors fx est du signe de a pour tout réel x-b2a.
  • Si Δ>0, x1 et x2 désignant les deux racines du trinôme avec x1<x2 alors fx est du signe de a pour tout réel x-x1x2+ et fx est du signe contraire de celui de a pour tout réel xx1x2.

remarque

On retiendra la règle : « Un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. ».

exemples

  1. Résoudre dans l'inéquation -x24-x+30.

    Étudions le signe du trinôme -x24-x+3 avec a=-14, b=-1 et c=3.

    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=-12-4×-14×3=4.

    Comme Δ>0, le trinôme admet deux racines : x1=-b-Δ2asoitx1=1-4-12=2etx2=-b+Δ2asoitx2=1+4-12=-6

    Un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. Ainsi :

    x--62+
    -x24-x+30||+0||

    L'ensemble des solutions de l'inéquation -x24-x+30 est S=--62+.


  2. Étudier les positions relatives de la parabole 𝒫 d'équation y=x2 avec la droite 𝒟 d'équation y=2x-3.

    Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de x2-2x-3=x2-2x+3

    Le discriminant du trinôme x2-2x+3 est Δ=b2-4ac soit Δ=-22-4×1×3=-8.

    Comme Δ<0 le trinôme est du signe de a donc pour tout réel x, x2-2x+3>0.

    La parabole 𝒫 est au dessus de la droite 𝒟.



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