contrôle du 24 septembre 2005

Corrigé de l'exercice 5

Soit n un entier naturel.

1. Vérifier que pour $n=0$ ou $n=1$, le nombre $A={\left({\displaystyle \frac{2^{2n+1}-2^{2n}}{4^{n+1}+4^n}}\right)}^2$ est un rationnel.

   • Si $n=0$ :$$A={\left({\displaystyle \frac{2-1}{4+1}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{25}}$$
   • Si $n=1$ :$$A={\left({\displaystyle \frac{2^3-2^2}{4^2+4}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{4}{20}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{25}}$$

   Ainsi, pour $n=0$ ou $n=1$, le nombre $A={\left({\displaystyle \frac{2^{2n+1}-2^{2n}}{4^{n+1}+4^n}}\right)}^2$ est un rationnel.

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2. Montrer que pour tout entier n, $A={\left({\displaystyle \frac{2^{2n+1}-2^{2n}}{4^{n+1}+4^n}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{25}}$.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{rcl}{\left({\displaystyle \frac{2^{2n+1}-2^{2n}}{4^{n+1}+4^n}}\right)}^2& =& {\left({\displaystyle \frac{2^{2n}\times \left(2-1\right)}{4^n\times \left(4+1\right)}}\right)}^2\\ & =& {\left({\displaystyle \frac{2^{2n}}{2^{2n}\times 5}}\right)}^2\\ & =& {\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^2\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier n, $A={\left({\displaystyle \frac{2^{2n+1}-2^{2n}}{4^{n+1}+4^n}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{25}}$.

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