contrôle du 24 septembre 2005

Exercice 1

Pour chacun des nombres suivants, donner le plus petit ensemble $\left(\mathbb{N}\text{, }\mathbb{Z}\text{, }\mathbb{Q}\text{ ou }ℝ\right)$ auquel il appartient :

$A=4-\sqrt{121}$ ;   $B={10}^{-4}$ ;   $C={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2$ ;   $D=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{3}{5}}}\times \sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{5}}}$.

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Exercice 2

Écrire les nombres suivants sans radicaux au dénominateur :

1. ${\displaystyle \frac{-5}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$.

2. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}$.

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Exercice 3

Soit le nombre $P=792$.

1. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de P.

2. Trouver le plus petit naturel non nul k tel que $kP$ soit le carré d'un entier.

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Exercice 4

Soit $E=3x^3-\mathrm{5,5}{x}^2-2x+1$.

1. Vérifier que $E=-1$ pour $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ ou $x=\mathrm{0,5}$ ou $x=2$.

2. Peut-on conclure que pour tout réel x, $E=-1$ ? (Justifier votre réponse)

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Exercice 5

Soit n un entier naturel.

1. Vérifier que pour $n=0$ ou $n=1$, le nombre $A={\left({\displaystyle \frac{2^{2n+1}-2^{2n}}{4^{n+1}+4^n}}\right)}^2$ est un rationnel.

2. Montrer que pour tout entier n, $A={\left({\displaystyle \frac{2^{2n+1}-2^{2n}}{4^{n+1}+4^n}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{25}}$.

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Exercice 6

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $4x^3=5x^2$.

2. $9x^2=25$.

3. ${\left(2x+1\right)}^2=1-4x^2$.

4. ${\left(2-3x\right)}^2=x^2-6x+9$.

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