contrôle du 17 novembre 2006

Corrigé de l'exercice 1

Soit x un nombre réel tel que ${\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1$.

1. Donner un encadrement de $1-3x$.

   $$\begin{array}{rcll}{\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1& \iff & -3⩽-3x⩽-2& \text{Multiplication par un réel négatif}\\ & \iff & -2⩽1-3x⩽-1& \end{array}$$

   Si ${\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1$ alors, $-2⩽1-3x⩽-1$.

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2. Donner un encadrement de $x^2-1$.

   $$\begin{array}{rcll}{\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1& \iff & {\displaystyle \frac{4}{9}}⩽x^2⩽1& \text{Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés}\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{5}{9}}⩽x^2-1⩽0& \end{array}$$

   Si ${\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1$ alors, $-{\displaystyle \frac{4}{9}}⩽x^2-1⩽0$.

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3. Donner un encadrement de ${\displaystyle \frac{3}{x-2}}$.

   $$\begin{array}{rcll}{\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1& \iff & -{\displaystyle \frac{4}{3}}⩽x-2⩽-1& \\ & \iff & -1⩽{\displaystyle \frac{1}{x-2}}⩽-{\displaystyle \frac{3}{4}}& \text{Deux nombres négatifss sont dans l'ordre inverse de leurs inverses}\\ & \iff & -3⩽{\displaystyle \frac{3}{x-2}}⩽-{\displaystyle \frac{9}{4}}& \end{array}$$

   Si ${\displaystyle \frac{2}{3}}⩽x⩽1$ alors, $-3⩽{\displaystyle \frac{3}{x-2}}⩽-{\displaystyle \frac{9}{4}}$.

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