contrôle du 17 novembre 2006

Corrigé de l'exercice 4

1. Comparer les nombres $\sqrt{2}-1$ et ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}}$ en étudiant le signe de leur différence.

   $$\begin{array}{rcl}\sqrt{2}-1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}}& =& {\displaystyle \frac{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2-1}{\sqrt{2}-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-2\sqrt{2}+1-1}{\sqrt{2}-1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}}\\ & =& -2\end{array}$$

   $\sqrt{2}-1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}}<0$ alors, $\sqrt{2}-1<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}}$.

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2. Comparer les nombres $\sqrt{3}-1$ et ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2$ en étudiant le signe de leur différence.

   $$\begin{array}{rcl}\sqrt{3}-1-{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2& =& \sqrt{3}-1-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)\\ & =& 3\sqrt{3}-5\end{array}$$

   Or ${\left(3\sqrt{3}\right)}^2=27$ et $5^2=25$ d'où $3\sqrt{3}>5$

   $\sqrt{3}-1-{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2>0$ alors, $\sqrt{3}-1>{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2$.

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