contrôle commun du 7 mai 2008

Corrigé de l'exercice 2

1. 1. Indiquer, sans justification, le tableau de variations de la fonction "carré", (c'est-à-dire la fonction qui à chaque nombre réel fait correspondre son carré)

      x	$-\infty$		0		$+\infty$
      $f:x\mapsto x^2$			0

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   2. Le réel x vérifie : $-2⩽x⩽-1$. Quel encadrement peut-on en déduire pour $x^2$ ? Pour $-3x^2+1$ ?

      Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ , la fonction carrée est strictement décroissante donc $$\begin{array}{rcll}\text{Si}& -2⩽x⩽-1& \text{alors}& {\left(-2\right)}^2⩾x^2⩾{\left(-1\right)}^2\\ & & \text{Soit}& 1⩽x^2⩽4\end{array}$$

      D'autre part, $$\begin{array}{rcl}1⩽x^2⩽4& \iff & -3⩾-3x^2⩾-12\\ & \iff & -2⩾-3x^2+1⩾-11\end{array}$$

      Ainsi, si $-2⩽x⩽-1$ alors $1⩽x^2⩽4$ et $-11⩽-3x^2+1⩽-2$

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2. 1. De quel(s) nombre(s) ${\displaystyle \frac{25}{4}}$ est-il le carré ?

      ${\displaystyle \frac{25}{4}}$ est le carré des nombres $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{2}}$

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   2. Réciter l'égalité remarquable qui permet de factoriser une différence de carrés.

      Pour tout réel a et pour tout réel b, $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$

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   3. Écrire ${\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.

      $$\begin{array}{rcl}{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}& =& \left(\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\left(\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)+{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\\ & =& \left(x-{\displaystyle \frac{6}{2}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{4}{2}}\right)\\ & =& \left(x-3\right)\left(x+2\right)\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, ${\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}=\left(x-3\right)\left(x+2\right)$

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3. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0$.

   $$\begin{array}{rclll}\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0& \iff & x+2=0& \text{ou}& x-3=0\\ & \iff & x=-2& \text{ou}& x=3\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0$ est $S=\left\{1-2;3\right\}$

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