contrôle commun du 7 mai 2008

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-x-6$

1. Calculer l'image de 0 par la fonction f, puis celle de − 3 et enfin celle de $\sqrt{2}+1$.

   $f\left(0\right)=-6$

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   $$\begin{array}{rcl}f\left(-3\right)& =& {\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)-6\\ & =& 9+3-6\\ & =& 6\end{array}$$$f\left(-3\right)=6$

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   $$\begin{array}{rcl}f\left(\sqrt{2}+1\right)& =& {\left(\sqrt{2}+1\right)}^2-\left(\sqrt{2}+1\right)-6\\ & =& 2+2\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-1-6\\ & =& \sqrt{2}-4\end{array}$$$f\left(\sqrt{2}+1\right)=\sqrt{2}-4$

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2. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}& =& x^2-x+{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{25}{4}}\\ & =& x^2-x-{\displaystyle \frac{24}{4}}\\ & =& x^2-x-6\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$.

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3. En déduire que pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-{\displaystyle \frac{25}{4}}$. Que représente le nombre $-{\displaystyle \frac{25}{4}}$ pour la fonction f ?

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2⩾0& \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}⩾-{\displaystyle \frac{25}{4}}\end{array}$$

   D'autre part $$\begin{array}{rcl}f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& =& -{\displaystyle \frac{25}{4}}\end{array}$$

   Pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-{\displaystyle \frac{25}{4}}$ et $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{25}{4}}$ alors $-{\displaystyle \frac{25}{4}}$ est le minimum de la fonction f atteint pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

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4. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $x^2⩾x+6$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{x}^2⩾x+6& \iff & x^2-x-6⩾0\\ & \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}⩾0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)⩾0\\ & \iff & \left(x-3\right)\left(x+2\right)⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-3\right)\left(x+2\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		− 2		3		$+\infty$
   $x+2$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $x-3$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $\left(x-3\right)\left(x+2\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation $x^2⩾x+6$ est $S=\left]-\infty ;-2\right]\cup \left[3;+\infty \right[$

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