contrôle commun du 7 mai 2008

Corrigé de l'exercice 5

On considère l'expression $A\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{3-2x}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}$

1. Pour quels réels x peut-on calculer $A\left(x\right)$ ?

   0 n'a pas d'inverse donc on peut calculer $A\left(x\right)$ pour $$\begin{array}{ccc}3-2x\ne 0\iff x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& x\ne 0\end{array}$$

   $A\left(x\right)$ est défini pour $x\in \left]-\infty ;0\right[\cup \left]0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[\cup \left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$

2. Écrire $A\left(x\right)$ sous la forme d'un quotient "factorisé".
   Rappel : Un quotient factorisé est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des produits de facteurs.

   Pour tout réel $x\ne {\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $x\ne 0$$$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{x}{3-2x}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}& =& {\displaystyle \frac{x^2+3\left(3-2x\right)}{x\left(3-2x\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+9-6x}{x\left(3-2x\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x-3\right)}^2}{x\left(3-2x\right)}}\end{array}$$

   Ainsi, $A\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-3\right)}^2}{x\left(3-2x\right)}}$

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3. Étudier le signe de $A\left(x\right)$ en fonction de x.

   Étudions le signe de $A\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   x	$-\infty$		0		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		3		$+\infty$
   x		−	$\left|\right|$	+	$\left|\right|$	+	$|$	+
   $3-2x$		+	$\left|\right|$	+	$\left|\right|$	−	$|$	−
   ${\left(x-3\right)}^2$		+	$\left|\right|$	+	$\left|\right|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   ${\displaystyle \frac{{\left(x-3\right)}^2}{x\left(3-2x\right)}}$		−	$\left|\right|$	+	$\left|\right|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   ---

   Ainsi, sur $\left]0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$, $A\left(x\right)>0$ et sur $\left]-\infty ;0\right[\cup \left]{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$, $A\left(x\right)⩽0$

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