contrôle commun du 7 mai 2008

exercice 1

1. Déterminer la fonction affine f définie sur $ℝ$ sachant que $f\left(-3\right)=3$ et $f\left(4\right)=10$.

2. Dans le repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ ci-dessous, est tracée la parabole (P) d'équation $y=x^2$.

   Tracer dans le même repère la droite D qui représente la fonction affine définie par $x\mapsto x+6$.

3. Colorier en vert tous les points de la parabole situés au-dessus de la droite D. À quel ensemble appartiennent les abscisses de ces points ?

4. Résoudre graphiquement dans $ℝ$ l'inéquation $x^2⩾x+6$.

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exercice 2

Certaines réponses pourront être utiles dans l'exercice 3

1. 1. Indiquer, sans justification, le tableau de variations de la fonction "carré", (c'est-à-dire la fonction qui à chaque nombre réel fait correspondre son carré)

   2. Le réel x vérifie : $-2⩽x⩽-1$. Quel encadrement peut-on en déduire pour $x^2$ ? Pour $-3x^2+1$ ?

2. 1. De quel(s) nombre(s) ${\displaystyle \frac{25}{4}}$ est-il le carré ?

   2. Réciter l'égalité remarquable qui permet de factoriser une différence de carrés.

   3. Écrire ${\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.

3. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0$.

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exercice 3

Pensez à utiliser certains résultats de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-x-6$

1. Calculer l'image de 0 par la fonction f, puis celle de − 3 et enfin celle de $\sqrt{2}+1$.

2. Vérifier que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}$.

3. En déduire que pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-{\displaystyle \frac{25}{4}}$. Que représente le nombre $-{\displaystyle \frac{25}{4}}$ pour la fonction f ?

4. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $x^2⩾x+6$.

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exercice 4

ABCD est un parallélogramme.

1. Placer les points E et F définis par les égalités : $\overrightarrow{DE}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\overrightarrow{AD}$

2. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AE}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

3. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{BF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

4. Montrer que les droites (AE) et (BF) sont parallèles.

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exercice 5

On considère l'expression $A\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{3-2x}}+{\displaystyle \frac{3}{x}}$

1. Pour quels réels x peut-on calculer $A\left(x\right)$ ?

2. Écrire $A\left(x\right)$ sous la forme d'un quotient "factorisé".
   Rappel : Un quotient factorisé est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des produits de facteurs.

3. Étudier le signe de $A\left(x\right)$ en fonction de x.

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exercice 6

Soit $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ un repère du plan.

Les points $A\left(-2;2\right)$, $B\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$ et $C\left(0;{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$ sont-ils alignés ?

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