contrôle du 22 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations :

1. $\left(2x-3\right)\left(4-5x\right)>0$

   Pour résoudre cette inéquation, étudions le signe du produit $\left(2x-3\right)\left(4-5x\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   Chacun des termes du produit est une expression de la forme $ax+b$ avec $a\ne 0$ qui change de signe au point où elle s'annule.

   $$\begin{array}{rclll}& 2x-3⩽0& \text{et}& & 4-5x⩽0\\ \iff & 2x⩽3& & \iff & -5x⩽-4\\ \iff & x⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}& & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{4}{5}}\end{array}$$

   On dresse le tableau de signes pour étudier le signe du produit :

   x	− ∞		${\displaystyle \frac{4}{5}}$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		+ ∞
   Signe de $\left(2x-3\right)$		−	|	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $\left(4-5x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	|	−
   Signe de $\left(2x-3\right)\left(4-5x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   ---

   L'ensemble solution de l'inéquation $\left(2x-3\right)\left(4-5x\right)>0$ est donc $S=\left]{\displaystyle \frac{4}{5}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right[$

   ---

2. ${\left(3x-2\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2⩾0$

   $$\begin{array}{rcl}{\left(3x-2\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2⩾0& \iff & \left[\left(3x-2\right)+\left(x+1\right)\right]\left[\left(3x-2\right)-\left(x+1\right)\right]⩾0\\ & \iff & \left(3x-2+x+1\right)\left(3x-2-x-1\right)⩾0\\ & \iff & \left(4x-1\right)\left(2x-3\right)⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(4x-1\right)\left(2x-3\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   $$\begin{array}{rclll}& 4x-1⩽0& \text{et}& & 2x-3⩽0\\ \iff & 4x⩽1& & \iff & 2x⩽3\\ \iff & x⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}& & \iff & x⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   On dresse le tableau de signes pour étudier le signe du produit :

   x	− ∞		${\displaystyle \frac{1}{4}}$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		+ ∞
   Signe de $\left(4x-1\right)$		−	|	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $\left(2x-3\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	|	+
   Signe de $\left(2x-3\right)\left(4-5x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   ---

   L'ensemble solution de l'inéquation ${\left(3x-2\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2⩾0$ est donc $S=\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{4}}\right]\cup \left[{\displaystyle \frac{3}{2}}+\infty \right[$

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