contrôles en seconde

contrôle du 22 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 6

Sur le dessin ci-dessous, placer les points les points M et N tels que $\vec{B M} = 2 \vec{C A}$ et $\vec{A N} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ .
Exprimer les vecteurs $\vec{A M}$ et $\vec{B N}$ en fonction des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ .
$\begin{array}{rcl} \vec{A M} & = & \vec{A B} + \vec{B M} \\ = & \vec{A B} - 2 \vec{A C} \\ \vec{B N} & = & \vec{B A} + \vec{A N} \\ = & - \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} \\ = & - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} \end{array}$
Ainsi, $\vec{A M} = \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ et $\vec{B N} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$
Montrer que les droites (AM) et (BN) sont parallèles.
Nous avons $\vec{A M} = \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ et $\vec{B N} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ donc $\vec{A M} = - 3 \vec{B N}$
Les vecteurs $\vec{A M}$ et $\vec{B N}$ sont colinéaires, donc les droites (AM) et (BN) sont parallèles.

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