contrôle du 22 novembre 2008

Corrigé de l'exercice 5

ABCD est un parallélogramme.

1. Placer les points les points E et F tels que $\overrightarrow{AE}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}$.

2. Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.

   $$\begin{array}{rcll}\overrightarrow{CE}& =& \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}& \left(\text{Relation de Chasles}\right)\\ & =& -\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}& \left(ABCD\text{ est un parallélogramme alors, }\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}& \\ \overrightarrow{CF}& =& \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}& \\ & =& -\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+3\overrightarrow{AD}& \\ & =& -\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}& \end{array}$$

   Ainsi, $\overrightarrow{CE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$.

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3. Montrer que les points E, C et F sont alignés.

   Nous avons $\overrightarrow{CE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$ donc $\overrightarrow{CF}=-2\overrightarrow{CE}$

   Ainsi, les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ sont colinéaires, donc les points E, C et F sont alignés.

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