contrôles en seconde

contrôle du 21 octobre 2010

Corrigé de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

$9 - 4 x^{2} = (2 - 3 x) (2 x + 3)$ .
Pour tout réel x $\begin{array}{rcl} 9 - 4 x^{2} = (2 - 3 x) (2 x + 3) & \Leftrightarrow & 9 - 4 x^{2} - (2 - 3 x) (2 x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & (3 - 2 x) (2 x + 3) - (2 - 3 x) (2 x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & (2 x + 3) [(3 - 2 x) - (2 - 3 x)] = 0 \\ \Leftrightarrow & (2 x + 3) (x + 1) = 0 \end{array}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs est nul. D'où : $\begin{array}{lrrcr} (2 x + 3) (x + 1) = 0 & équivaut à & 2 x + 3 = 0 & ou & x + 1 = 0 \\ soit & x = - \frac{3}{2} & ou & x = - 1 \end{array}$
Ainsi, l'ensemble S des solutions de l'équation $9 - 4 x^{2} = (2 - 3 x) (2 x + 3)$ est $S = {- \frac{3}{2}; - 1}$ .
$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} = 2$ .
Le quotient $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1}$ est défini pour tout réel x tel que $2 x + 1 \neq 0$ soit pour $x \neq - \frac{1}{2}$ .
Pour tout réel $x \neq - \frac{1}{2}$ $\begin{array}{rcl} \frac{1 - 2 x}{2 x + 1} = 2 & \Leftrightarrow & \frac{1 - 2 x}{2 x + 1} - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{1 - 2 x - 2 (2 x + 1)}{2 x + 1} = 0 \\ \Leftrightarrow & \frac{- 6 x - 1}{2 x + 1} = 0 \end{array}$
Cette équation équivaut à $2 x + 1 \neq 0$ et $- 6 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{6}$ .
L'équation $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} = 2$ admet pour solution $x = - \frac{1}{6}$ .

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