contrôle du 21 octobre 2010

Corrigé de l'exercice 2

f est la fonction carré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2$.
Sa courbe représentative est la parabole $\left(𝒫\right)$ tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Calculer les images des réels $\left(-\sqrt{3}\right)$, $\left(1+\sqrt{2}\right)$, ${10}^{-3}$ et ${\displaystyle \frac{7}{8}}$.

   • ${\left(-\sqrt{3}\right)}^2=3$ donc $f\left(-\sqrt{3}\right)=3$.

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   • ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2=1+2\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=3+2\sqrt{2}$ donc $f\left(1+\sqrt{2}\right)=3+2\sqrt{2}$.

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   • ${\left({10}^{-3}\right)}^2={10}^{-6}$ donc $f\left({10}^{-3}\right)={10}^{-6}$.

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   • ${\left({\displaystyle \frac{7}{8}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{64}}$ donc $f\left({\displaystyle \frac{7}{8}}\right)={\displaystyle \frac{49}{64}}$.

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2. Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?

   L'équation $x^2=12$ admet deux solutions $x=-\sqrt{\mathrm{12}}$ ou $x=\sqrt{\mathrm{12}}$.

   Les antécédents de 12 sont $-2\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.

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3. Soit g la fonction affine définie définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=6-x$.

   Tracer dans le repère précédent, la droite D représentative de la fonction g.

   La droite D passe par les points de de coordonnées $\left(0;6\right)$ et $\left(6;0\right)$.

4. Résoudre dans l'ensemble des réels, l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

   Pour tout réel x $$\begin{array}{rcl}{x}^2=6-x& \iff & x^2+x-6=0\\ & \iff & \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right]-6=0\\ & \iff & {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{4}}=0\\ & \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=0\\ & \iff & \left(x-2\right)\left(x+3\right)=0\\ & \iff & x-2=0\text{ ou }x+3=0\\ & \iff & x=2\text{ ou }x=-3\end{array}$$

   Ainsi, l'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ est $S=\left\{-3;2\right\}$.

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