contrôle du 21 octobre 2010

Corrigé de l'exercice 3

1. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4-x^2}{x^2+1}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

   1. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère.

      • $f\left(0\right)=4$.
      • Pour tout réel x $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{4-x^2}{x^2+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{\left(2-x\right)\left(2-x\right)}{x^2+1}}=0\\ & \iff & x=2\text{ ou }x=-2\end{array}$$

      La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées $\left(-2;0\right)$ et $\left(2;0\right)$. La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;4\right)$.

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   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=-1$.

      Pour tout réel x $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=-1& \iff & {\displaystyle \frac{4-x^2}{x^2+1}}+1=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{4-x^2+x^2+1}{x^2+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{5}{x^2+1}}=0\end{array}$$

      Pour tout réel x, ${\displaystyle \frac{5}{x^2+1}}>0$ donc l'équation $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=-1$ n'a pas de solution.

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2. Soit g la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+5}{x^2+1}}-2$. On note $C_g$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

   1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & {\displaystyle \frac{4-x^2}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{2x+5}{x^2+1}}-2\\ & \iff & {\displaystyle \frac{4-x^2}{x^2+1}}-{\displaystyle \frac{2x+5}{x^2+1}}+2=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{4-x^2-2x-5+2x^2+2}{x^2+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+1}}=0\\ & \iff & x=1\end{array}$$

      L'équation $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ a pour unique solution $x=1$.

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   2. Étudier les positions relatives des deux courbes $C_f$ et $C_g$.

      Les positions relatives des deux courbes $C_f$ et $C_g$ se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Or pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+1}}$. Par conséquent, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$ soit $f\left(x\right)⩾g\left(x\right)$.

      La courbe $C_f$ est au dessus de la courbe $C_g$. Les deux courbes ont un seul point commun de coordonnées $\left(1;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

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