contrôle du 04 mars 2011

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-4$. On note $C_f$ sa courbe représentative.

1. Laquelle des deux paraboles tracées ci-dessous, ne peut pas être la courbe $C_f$ ?

   La fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-4$ est une fonction polynôme du second degré avec $f\left(0\right)=-4$. Sa courbe représentative est une parabole passant par le point de coordonnées $\left(0;-4\right)$.

   $C_2$ est la courbe susceptible de représenter la fonction f.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(x-\alpha \right)}^2+\beta$ où α et β sont deux réels à déterminer.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-4\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x^2-2x\right)-4\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x-1\right)}^2-1\right]-4\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(x-1\right)}^2-{\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(x-1\right)}^2-{\displaystyle \frac{9}{2}}$.

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   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\left(x-1\right)}^2⩾0& \iff & {\displaystyle \frac{1}{2}}{\left(x-1\right)}^2-{\displaystyle \frac{9}{2}}⩾-{\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

      D'autre part $f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$. Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾-{\displaystyle \frac{9}{2}}$ et $f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$ alors $-{\displaystyle \frac{9}{2}}$ est le minimum de la fonction f atteint pour $x=1$

      f est une fonction polynôme du second degré avec $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $b=-1$ et $c=-4$. Comme $a>0$, on en déduit le tableau des variations de de la fonction f :

      x	$-\infty$		1		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			$-\frac{9}{2}$

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3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=5$ et $g\left(6\right)=-7$. On note $C_g$ sa courbe représentative.

   1. Quelle est la nature de la courbe $C_g$ ? La tracer dans le repère précédent.

      g est une fonction affine, sa courbe représentative est la droite $C_g$ passant par les points de coordonnées $\left(-2;5\right)$ et $\left(6;-7\right)$.

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   2. Déterminer une expression de g en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(6\right)-g\left(-2\right)}{6-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-7-5}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+b$. Or $g\left(-2\right)=5$ d'où $$3+b=5\iff b=2$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2$.

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4. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}\right]$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-4-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+2\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}-6\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[x^2+x-12\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}-12\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}\right]\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}\right]$.

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   2. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$.

      Les abscisses des points d'intersection des courbes $C_f$ et $C_g$ sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)-g\left(x\right)=0$.

      Soit les réels x solutions de : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}\right]=0& \iff & {\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}=0\hfill \\ & \iff & x+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{7}{2}}\text{ ou }x+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}\hfill \\ & \iff & x=-4\text{ ou }x=3\hfill \end{array}$$

      Or $$\begin{array}{ll}& g\left(-4\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times \left(-4\right)+2=8\\ \text{et}& g\left(3\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 3+2=-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

      La droite $C_g$ coupe la courbe $C_f$ en deux points de coordonnées respectives $\left(-4;8\right)$ et $\left(3;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$

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   3. Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et $C_g$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left[{\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{4}}\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-3\right)\left(x+4\right)\end{array}$$

      Étudions le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		− 4		3		$+\infty$
      $\left(x-3\right)$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $\left(x+4\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $$f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-3\right)\left(x+4\right)$$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      Les positions relatives de la parabole $C_f$ et de la droite $C_g$ se déduisent du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-4\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$ la parabole $C_f$ est au dessus de la droite $C_g$.
      • Sur l'intervalle $\left[-4;3\right]$ la parabole $C_f$ est au dessous de la droite $C_g$.
      • La droite $C_g$ coupe la parabole $C_f$ en deux points d'abscisses − 4 et 3.

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