contrôle du 04 mars 2011

Corrigé de l'exercice 2

Une machine produit des pièces en grandes quantités, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles notés A et B.
On a constaté que parmi les pièces fabriquées, 9 % ont au moins le défaut A, 6 % ont au moins le défaut B et 5 % les deux défauts.

Notons :

A l'évènement : « La pièce a le défaut A » ;

B l'évènement : « La pièce a le défaut B » ;

1. Calculer la probabilité qu'une pièce ait seulement le défaut A.

   Le tableau suivant permet de déterminer la probabilité qu'une pièce ait seulement le défaut A :

   	B	$\overline{B}$
   A	$p\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,05}$	$p\left(A\cap \overline{B}\right)=\text{?}$	$p\left(A\right)=\mathrm{0,09}$
   $\overline{A}$	$p\left(\overline{A}\cap B\right)$	$p\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)$	$p\left(\overline{A}\right)$
   	$p\left(B\right)=\mathrm{0,06}$	$p\left(\overline{B}\right)$	1

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   La probabilité qu'une pièce ait seulement le défaut A est : $$\begin{array}{lll}p\left(A\cap \overline{B}\right)& =& p\left(A\right)-p\left(A\cap B\right)\\ & =& \mathrm{0,09}-\mathrm{0,05}\\ & =& \mathrm{0,04}\end{array}$$

   La probabilité qu'une pièce ait seulement le défaut A est égale à 0,04.

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2. Calculer la probabilité qu'une pièce n'ait aucun défaut.

   L'évènement « La pièce n'a aucun défaut » est ll'évènement contraire de l'évènement « La pièce a au moins un défaut ». Une pièce est défectueuse si elle a le défaut A ou le défaut B.

   $$\begin{array}{lll}p\left(A\cup B\right)& =& p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)\\ & =& \mathrm{0,09}+\mathrm{0,06}-\mathrm{0,05}\\ & =& \mathrm{0,1}\end{array}$$ D'où $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{A\cup B}\right)& =& 1-p\left(A\cup B\right)\\ & =& 1-\mathrm{0,1}\\ & =& \mathrm{0,9}\end{array}$$

   La probabilité qu'une pièce n'ait aucun défaut est égale à 0,9.

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