contrôle du 16 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 1

1. Soit f la fonction affine telle que $f\left(1\right)=-3$ et $f\left(3\right)-f\left(-2\right)=-2$.

   1. Quel est le sens de variation de la fonction f ?

      La fonction affine, f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(3\right)-f\left(-2\right)}{3-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-2}{5}}\end{array}$$

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{5}}x+b$ donc f est strictement décroissante.

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   2. Donner le tableau de signes de la fonction f .

      Nous avons $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{5}}x+b$ et $f\left(1\right)=-3$ d'où $$-{\displaystyle \frac{2}{5}}\times 1+b=-3\iff b=-{\displaystyle \frac{13}{5}}$$

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{5}}x-{\displaystyle \frac{13}{5}}$ et : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)⩽0& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{5}}x-{\displaystyle \frac{13}{5}}⩽0\hfill \\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{13}{2}}\hfill \end{array}$$

      D'où, le tableau de signes de la fonction f :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{13}{2}}$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

2. g est une fonction affine telle que $g\left(-1\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $g\left(2\right)=3\times g\left(-1\right)$. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine, g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(2\right)-g\left(-1\right)}{2-\left(-1\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{3\times g\left(-1\right)-g\left(-1\right)}{3}}={\displaystyle \frac{2\times g\left(-1\right)}{3}}\end{array}$$

   Or $g\left(-1\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$ donc $$a={\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}=1$$

   et d'autre part, $$1\times \left(-1\right)+b={\displaystyle \frac{3}{2}}\iff b={\displaystyle \frac{5}{2}}$$

   Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

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