contrôles en seconde

contrôle du 16 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 2

ABCD est un rectangle de longueur $AB = 12$ et de largeur $AD = 5$ .
M est un point mobile le long de la ligne brisée ABC. Si $M \in [AB]$ , on pose $x = AM$ ; si $M \in [BC]$ , on pose $x = AB + BM$ .

Soit f la fonction telle que $f (x) = DM$ .

Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?
Quand le point M est confondu avec le point A : $x = 0$ .
Quand le point M est confondu avec le point C : $\begin{matrix} x = AB + BC & Soit & x = 12 + 5 = 17 \end{matrix}$
La fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 17]$
Établir le tableau des variations de la fonction f.
- Si $M \in [AB]$ alors $DA ⩽ DM ⩽ DB$ et d'autre part, la distance DM augmente quand la distance AM augmente.
  Par conséquent, sur l'intervalle $[0; 12]$ f est croissante.
- Si $M \in [BC]$ alors $DB ⩾ DM ⩾ DC$ et d'autre part, la distance DM diminue quand la distance AM augmente.
  Par conséquent, f est décroissante sur l'intervalle $[12; 17]$ .
- La distance DM est maximale quand le point M est confondu avec le point B.
  D'après le théorème de Pythagore, $\begin{matrix} {DB}^{2} = {DA}^{2} + {AB}^{2} & Soit & {DB}^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169 \\ D'où & DB = \sqrt{169} = 13 \end{matrix}$
Le tableau des variations de le fonction f est :
x 0 12 17
$f (x)$
5
13
12
En déduire le nombre de solutions de chacune des équations suivantes $f (x) = 13$ et $f (x) = 8$ .
D'après le tableau des variations de la fonction f :
- l'équation $f (x) = 13$ admet une seule solution $x = 12$ ;
- l'équation $f (x) = 8$ admet une solution dans l'intervalle $[0; 12]$ .

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

x	0		12		17
$f (x)$	5		13		12