contrôle du 16 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=4x^3-28x+2$ . Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le repère orthogonal donné en annexe.

1. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=2-3x$.
   Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

   g est une fonction affine donc sa courbe représentative est la droite $D_g$ passant par les points $\left(-2;8\right)$ et $\left(2;-4\right)$

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2. 1. Factoriser $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 4x^3-28x+2-2+3x\hfill \\ & =& 4x^3-25x\hfill \\ & =& x\left(4x^2-25\right)\hfill \\ & =& x\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=x\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)$

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   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}& 2x-5⩽0& \iff & x⩽{\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \\ \text{et}& 2x+5⩽0& \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \end{array}$$

      Étudions le signe du produit $f\left(x\right)-g\left(x\right)=x\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{5}{2}}$		0		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		$+\infty$
      Signe de x		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $2x-5$		−	$|$	−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Signe de $2x+5$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   3. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et $D_g$.

      • Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$ ou $\left[0;{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$ la courbe $C_f$ est au dessous de la droite $D_g$.
      • Sur chacun des deux intervalles $\left[-{\displaystyle \frac{5}{2}};0\right]$ ou $\left[{\displaystyle \frac{5}{2}};+\infty \right[$ la courbe $C_f$ est au dessus de la droite $D_g$.
      • La droite $D_g$ coupe la courbe $C_f$ en trois points d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$, 0 et ${\displaystyle \frac{5}{2}}$.

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   4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $D_g$.

      $$\begin{array}{ccccc}g\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=2-3\times \left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{19}{2}}& ;& g\left(0\right)=2& ;& g\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=2-3\times {\displaystyle \frac{5}{2}}=-{\displaystyle \frac{11}{2}}\end{array}$$

      Les coordonnées des trois points d'intersection de la droite $D_g$ avec la courbe $C_f$ sont $\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};{\displaystyle \frac{19}{2}}\right)$, $\left(0;2\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{5}{2}};-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)$.

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