contrôle du 16 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 1

1. Soit f la fonction affine telle que $f\left(-1\right)=3$ et $f\left(3\right)-f\left(-2\right)=2$.

   1. Quel est le sens de variation de la fonction f ?

      La fonction affine, f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(3\right)-f\left(-2\right)}{3-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{2}{5}}\end{array}$$

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}x+b$ donc f est strictement croissante.

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   2. Donner le tableau de signes de la fonction f .

      Nous avons $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}x+b$ et $f\left(-1\right)=3$ d'où $$-{\displaystyle \frac{2}{5}}+b=3\iff b={\displaystyle \frac{17}{5}}$$

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}x+{\displaystyle \frac{17}{5}}$ et : $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)⩽0& \iff & {\displaystyle \frac{2}{5}}x+{\displaystyle \frac{17}{5}}⩽0\hfill \\ & \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{17}{2}}\hfill \end{array}$$

      D'où, le tableau de signes de la fonction f :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{17}{2}}$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

2. g est une fonction affine telle que $g\left(-1\right)=2$ et $g\left(2\right)={\displaystyle \frac{g\left(-1\right)}{4}}$. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine, g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(2\right)-g\left(-1\right)}{2-\left(-1\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{g\left(-1\right)}{4}}-g\left(-1\right)}{3}}=-{\displaystyle \frac{g\left(-1\right)}{4}}\end{array}$$

   Or $g\left(-1\right)=2$ donc $$a=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\times 2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   et d'autre part, $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(-1\right)+b=2\iff b={\displaystyle \frac{3}{2}}$$

   Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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