contrôle du 16 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-4x^3+12x-2$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le repère orthogonal donné en annexe.

1. Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=3x-2$.
   Tracer la courbe $D_g$ représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

   g est une fonction affine donc sa courbe représentative est la droite $D_g$ passant par les points $\left(-2;-8\right)$ et $\left(2;4\right)$

   ---

2. 1. Factoriser $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& -4x^3+12x-2-3x+2\hfill \\ & =& -4x^3+9x\hfill \\ & =& x\left(-4x^2+9\right)\hfill \\ & =& x\left(3-2x\right)\left(3+2x\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=x\left(3-2x\right)\left(3+2x\right)$

      ---

   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}& 3-2x⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{3}{2}}\hfill \\ \text{et}& 3+2x⩽0& \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{3}{2}}\hfill \end{array}$$

      Étudions le signe du produit $f\left(x\right)-g\left(x\right)=x\left(3-2x\right)\left(3+2x\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		0		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      Signe de x		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      Signe de $3-2x$		+	$|$	+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Signe de $3+2x$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$|$	+
      Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

   3. En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et $D_g$.

      • Sur chacun des deux intervalles $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ ou $\left[0;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ la courbe $C_f$ est au dessus de la droite $D_g$.
      • Sur chacun des deux intervalles $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};0\right]$ ou $\left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ la courbe $C_f$ est au dessous de la droite $D_g$.
      • La droite $D_g$ coupe la courbe $C_f$ en trois points d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, 0 et ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      ---

   4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes $C_f$ et $D_g$.

      $$\begin{array}{ccccc}g\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=3\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)-=-{\displaystyle \frac{13}{2}}& ;& g\left(0\right)=-2& ;& g\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=3\times {\displaystyle \frac{5}{2}}-2={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

      Les coordonnées des trois points d'intersection de la droite $D_g$ avec la courbe $C_f$ sont $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};-{\displaystyle \frac{13}{2}}\right)$, $\left(0;-2\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.