contrôle du 16 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 2

1. La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous.
   À l'aide du graphique, déterminer les distances AB et AD.

   Le réel $f\left(x\right)$ est égal à l'aire du triangle BMC donc $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{AD}\times \left(\mathrm{AB}-x\right)}{2}}$

   Comme $f\left(16\right)=0$, on en déduit que $\mathrm{AB}-16=0$. D'où $\mathrm{AB}=16$.

   Nous avons $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{AD}\times \left(16-x\right)}{2}}$ et $f\left(0\right)=48$ par conséquent, ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}\times 16}{2}}=48$. D'où $\mathrm{AD}=6$.

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2. Déterminer l'expression de $f\left(x\right)$ en fonction de x.

   $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{6\times \left(16-x\right)}{2}}=48-3x$

   f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;16\right]$ par $f\left(x\right)=48-3x$

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3. On admet que pour $x=4$, l'aire du triangle BMC est égale à l'aire du trapèze AMCD.
   Calculer la distance CD.

   L'aire du trapèze AMCD est ${\displaystyle \frac{6\times \left(\mathrm{DC}+x\right)}{2}}=3\times \left(\mathrm{DC}+x\right)$.

   $f\left(4\right)=48-3\times 4=36$. D'où $$\begin{array}{ccc}3\times \left(\mathrm{DC}+4\right)=36& \iff & \mathrm{DC}+4=12\hfill \\ & \iff & \mathrm{DC}=8\hfill \end{array}$$

   La distance CD est égale à 8.

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4. Le réel $g\left(x\right)$ est égal à l'aire du trapèze AMCD.
   Tracer la courbe représentative de la fonction g dans le repère précédent.

   g est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;16\right]$ par $g\left(x\right)=3\times \left(8+4\right)=24+3x$.
   Sa courbe représentative est le segment de droite passant par les points $\left(0;24\right)$ et $\left(16;72\right)$

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