contrôles en seconde

contrôle du 17 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 1

Soit x un nombre réel.

L'affirmation « Si $x^{2} ⩾ 9$ alors $x ⩾ 9$ » est-elle vraie ?
${(- 4)}^{2} = 16$ .
Donc l'affirmation « Si $x^{2} ⩾ 9$ alors $x ⩾ 9$ » est fausse.
Écrire une proposition équivalente à : $x^{2} ⩾ 9$ .
Pour tout réel x, $\begin{matrix} x^{2} ⩾ 9 & \Leftrightarrow & x^{2} - 9 ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & (x - 3) (x + 3) ⩾ 0 \end{matrix}$
Étudions le signe du produit $(x - 3) (x + 3)$
x
$- \infty$ − 3 3 $+ \infty$
Signe de $x - 3$ − $|$ − $0_{|}^{|}$ +
Signe de $(x + 3)$ − $0_{|}^{|}$ + $|$ +
Signe de $(x - 3) (x + 3)$ + $0_{|}^{|}$ − $0_{|}^{|}$ +
Ainsi, $x^{2} ⩾ 9 \Leftrightarrow x \in]- \infty; - 3] \cup [3; + \infty[$

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x	$- \infty$		− 3		3		$+ \infty$
Signe de $x - 3$		−	$\|$	−	$0_{\|}^{\|}$	+
Signe de $(x + 3)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
Signe de $(x - 3) (x + 3)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−	$0_{\|}^{\|}$	+