contrôle du 17 novembre 2012

Corrigé de l'exercice 1

Soit x un nombre réel.

1. L'affirmation « Si $x^2⩾9$ alors $x⩾9$ » est-elle vraie ?

   ${\left(-4\right)}^2=16$.

   Donc l'affirmation « Si $x^2⩾9$ alors $x⩾9$ » est fausse.

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2. Écrire une proposition équivalente à : $x^2⩾9$.

   Pour tout réel x,$$\begin{array}{ccc}{x}^2⩾9& \iff & x^2-9⩾0\hfill \\ & \iff & \left(x-3\right)\left(x+3\right)⩾0\hfill \end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-3\right)\left(x+3\right)$

   x	$-\infty$		− 3		3		$+\infty$
   Signe de $x-3$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $\left(x+3\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   Signe de $\left(x-3\right)\left(x+3\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Ainsi, $x^2⩾9\iff x\in \left]-\infty ;-3\right]\cup \left[3;+\infty \right[$

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